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Strukturiertes Üben am Beispiel Entdecker-Päckchen

Im Laufe der Schulzeit müssen und sollen nicht immer wieder neue Übungsformate eingeführt werden. Viele Aufgabenformate lassen sich im Sinne des Spiralprinzips über Schuljahre hinweg wiederkehrend einsetzen. So auch die Entdecker-Päckchen, die zum strukturierten Üben eingesetzt werden. Auf dieser Seite können Sie verschiedene Varianten der Entdecker-Päckchen (in Anlehnung an die „schönen Päckchen" von Wittmann & Müller 2004) als ein beispielhaftes Aufgabenformat für strukturiertes Üben kennenlernen. Diese Varianten sind durch Schülerdokumente aus einer dritten sowie aus einer fünften Klasse, die bei einer Studie von Jana Zimmermann im Rahmen ihrer Masterarbeit entstanden sind, veranschaulicht.

1. Denken oder Auswendiglernen?

Vergleichen Sie die beiden nachfolgenden Aufgabentypen zur Addition.
  • Worin unterscheiden sich die beiden Aufgabentypen?
  • Inwiefern können sie jeweils zum Aufbau von mathematischem Verständnis beitragen? Begründen Sie!

Typ 1

Typ 2

2. Hintergrundwissen

2.1. Strukturiertes Üben: Entdecker-Päckchen

Es gibt verschiedene Übungstypen. Wittmann (1992, S. 179) hat zwei Kriterien erarbeitet, mit denen man Übungsformate klassifizieren kann: der Strukturierungsgrad und die Darstellungsform. Der Strukturierungsgrad gibt an, ob ein Übungsformat unstrukturiert, schwach strukturiert oder strukturiert ist (der Übergang ist dabei fließend). Im Einstiegsbeispiel steht die Aufgabe des Typ 1 dabei für eine unstrukturierte Aufgabe, Typ 2 repräsentiert ein strukturiertes Übungsformat.

Mit der Darstellungsform wird angegeben, ob ein Übungsformat gestütztes oder formales Üben ermöglicht. Beim gestützten Üben werden die mathematische Handlungen mit Hilfe von Anschauungsmaterialien (z.B. Rechenrahmen, Wendeplättchen etc.) oder mit bildlichen Darstellungen gestützt. Dabei soll die Handlung am Material bzw. die bildliche Darstellung die Kinder bei der Bearbeitung der jeweiligen Aufgabe unterstützen. Somit kann gestütztes Üben nicht nur bei der bloßen Lösung der Aufgabe (der Rechenrahmen kann z.B. beim Lösen einer Rechenaufgabe helfen) sondern auch beispielweise bei der Begründung eines mathematischen Musters mit Hilfe von Material (Plättchen werden z.B. zur Begründung eines Musters in einem Entdecker-Päckchen genutzt) stattfinden. Das formale Üben geschieht auf rein symbolischer Ebene.
Die verschiedenen Übungstypen, welche alle dem produktiven Üben zuzuordnen sind, lassen sich in einer Matrix darstellen. Diese ist nachfolgend mit Aufgabenbeispielen abgebildet.

Übungsmatrix (in Anlehnung an Wittmann 1992, S. 179; Beispiele aus PIK AS 2009, S. 2)

Strukturiertes Üben ist also ein Teilbereich des produktiven Übens. Es folgt dem „Prinzip der Strukturorientierung [, welches] unterstreicht, dass mathematische Aktivität häufig im Finden, Beschreiben und Begründen von Mustern besteht" (MSW NRW 2008, S. 55). Es dient einerseits dazu, die Beziehungshaltigkeit der Mathematik zu verdeutlichen (vgl. ebd.). Andererseits wird vorhandenes Wissen und Können durch beziehungsreiche Aufgaben gesichert, vernetzt und vertieft (vgl. ebd.). Durch strukturiertes Üben werden also sowohl inhalts- als auch prozessbezogene Kompetenzen geschult, wobei der Fokus auf den „zum Strukturverständnis führenden Bearbeitungsprozesse[n]" (Schipper 2009, S. 314) - folglich auf den prozessbezogenen Kompetenzen - liegt.
Durch die Vertiefung und Vernetzung von Wissen, erlangen die Kinder ein besseres Verständnis für Mathematik, weshalb strukturiertes Üben eine wichtige Ergänzung zum unstrukturierten Üben bildet.

Ein Übungsformat für strukturiertes Üben sind beispielsweise die Entdecker-Päckchen (in Anlehnung an die „schönen Päckchen" von Wittmann & Müller 2004) .
Entdecker-Päckchen sind operative Aufgabenserien. Sie ermöglichen ein formales und strukturiertes Üben, d.h. „die Aufgaben [werden] in der symbolischen Darstellungsform behandelt" (PIK AS 2009, S. 1) und „die Aufgaben einer Übungsserie sind durch einen ganzheitlichen Strukturzusammenhang aufeinander bezogen" (ebd., S. 2). Des Weiteren stehen „die Lösungswege und die Ergebnisse der einzelnen Aufgaben [...] in einem Zusammenhang und können sich gegenseitig unterstützen und korrigieren" (ebd.). Entdecker-Päckchen bieten also eine Form der Selbstkontrolle (aus der Sache selbst und nicht von außen (vgl. hierzu Wittmann 1992)).

Aufgrund der Vielgestaltigkeit von Entdecker-Päckchen (mehr dazu in Kapitel 3 & 4) sind sie immer wieder in verschiedenen Jahrgangsstufen verwendbar. Daher sind sie gut im Sinne des Spiralprinzips, welches im Folgenden vorgestellt wird, einsetzbar.

Weitere Informationen zu Entdecker-Päckchen finden sie auf der KIRA-Seite „Schöne Päckchen" sowie auf der PIK AS-Seite „Modul 1.2: ‚Wir werden Entdecker-Päckchen-Forscher'".

2.2. Spiralprinzip

Abb. 1: Curriculum-Spirale

„Untersuchungen der intellektuellen Entwicklung von Kindern rücken ins Licht, daß das Kind auf jeder Entwicklungsstufe eine charakteristische Art und Weise hat, die Welt zu betrachten und für sich selbst zu erklären. Ein Kind bestimmten Alters in einem Lehrgegenstand zu unterrichten bedeutet, die Struktur dieses Gegenstandes in der Art und Weise darzustellen, wie das Kind Dinge betrachtet" (Bruner 1973, S. 44).
Aus dieser Erkenntnis leitet sich das so genannte Spiralprinzip ab, welches besagt, dass ein Lerngegenstand auf verschiedenen Entwicklungsstufen aufgegriffen werden soll (vgl. Lauter 1997, S. 24). Er wird jeweils mit den dem Kind zur Verfügung stehenden Mitteln bis zu einem vorläufigen Abschluss entwickelt und zu einem späteren Zeitpunkt wieder aufgegriffen und auf einem höheren Niveau vertieft. „Der Unterrichtsstoff wird also in Form einer Spirale (oder besser einer Schraubenlinie) angeordnet" (ebd.) (vgl. Abb. 1).
Auf diese Weise wird die Grundlage für effektives und verstehensorientiertes Lernen geschaffen, da die Schülerinnen und Schüler so die Lerninhalte der verschiedenen Schulstufen miteinander in Verbindung bringen und somit ein vernetztes, mathematisches Verständnis aufbauen können.
Weitere Informationen zum Spiralprinzip finden Sie in:

Krauthausen, G. & Scherer, P. (2006): Einführung in die Mathematikdidaktik (2. Auflage). München: Spektrum Akademischer Verlag, S. 127f.

3. Verschiedene Varianten

Es gibt verschiedene Varianten von Entdecker-Päckchen (vgl. z.B. PIK AS 2009, S. 4ff.). Im Folgenden werden einige Varianten einzeln vorgestellt und anhand von Schülerdokumenten aus der Masterarbeit von Zimmermann (2011) veranschaulicht. Bei fast allen Aufgabenstellungen wurden die Kinder aufgefordert zu beschreiben, was ihnen auffällt, und ihre Entdeckungen zu begründen. Dadurch werden nicht nur die inhaltsbezogenen Kompetenzen, sondern auch die prozessbezogenen Kompetenzen der Kinder gefördert.

Hier finden Sie eine kurze Auswertung der Studie zum Thema „Beschreiben und Begründen".
Wie geht es weiter?

Die Kinder sollen hierbei eine Aufgabenserie nach einem Konstruktionsprinzip, welches der Aufgabenserie innewohnt oder welches sie entdecken und beschreiben können, fortsetzen. Dazu sollen die Kinder die Zusammenhänge der einzelnen Aufgaben zunächst erkennen und fortführen, bevor sie das entdeckte Muster in Worte fassen und es ggf. auch begründen.

Marvins Lösung

Springe!

Die Aufgaben der Aufgabenserie sind durchnummeriert und enthalten „Sprünge", d.h. einige Aufgaben sind ausgelassen. Die Kinder sollen die Aufgabenserie fortsetzen und dabei die Sprünge beachten. Dazu müssen sie die Zusammenhänge zwischen den einzelnen Aufgaben erkennen und das Muster (gedanklich) fortsetzen können.

Stacys Lösung

Ordne!

Den Kindern werden durcheinander geratene Aufgaben einer oder zweier Serie(n) vorgegeben. Sie sollen diese so ordnen, dass ein bzw. zwei Entdecker-Päckchen entsteht bzw. entstehen. Dazu müssen sie die Beziehungen zwischen den Zahlen entdecken und nutzen.

Oskars Lösung

Entdecker-Päckchen bergen die Gefahr, dass Kinder - sobald sie die Struktur einer Aufgabenserie erfasst haben - nicht mehr rechnen, sondern nur noch dem Muster folgen. Mit der folgenden Aufgabenvariante kann man dem entgegenwirken, da die Kinder hier „gezwungen sind" zu rechnen.

Was passt nicht?

Hierbei ist eine Aufgabenserie vorgegeben, deren Muster durch eine Aufgabe gestört ist. Die Kinder sollen diese ausfindig machen und so verbessern, dass sie sich in das Muster einfügt.

Ronjas Lösung

Erfinde selbst!

Die Kinder sollen bei dieser Version selbst Entdecker-Päckchen erfinden. Hierbei gibt es verschiedene Varianten wie z.B. folgende:

  • Erfinde ein leichtes Entdecker-Päckchen!
  • Erfinde ein schweres Entdecker-Päckchen!
  • Erfinde ein Entdecker-Päckchen mit 813+127 als 5. Aufgabe und 811+129 als 6. Aufgabe!

Generell sollte der Einsatz solch freier Aufgaben erst stattfinden, wenn die Kinder das Grundprinzip der operativen Aufgabenserien verstanden haben. Denn erst dann sind sie in der Lage Entdecker-Päckchen mit (überwiegend) einheitlichem Aufbauprinzip zu erstellen und so das selbst erfundene Muster zu nutzen.

Matthias' Lösung

  1. Überlegen Sie, welche Vor- und Nachteile die verschiedenen Aufgabenstellungen jeweils haben.
  2. Formulieren Sie weitere Varianten zu „Erfinde selbst!" und kommentieren Sie diese.
Hier finden Sie eine mögliche Analyse der Vor- und Nachteile sowie Anregungen für weitere „Erfinde-Selbst"-Aufgaben.
Aufgabe mit vertikalem & horizontalem Zusammenhang

Betrachten Sie die nachfolgende Schülerlösung. Das Kind beschreibt nur den vertikalen Zusammenhang, d.h. die Veränderung von einer Zeile zur nächsten. Versuchen Sie den horizontalen Zusammenhang zu beschreiben. Beachten Sie dabei den Tipp in der Aufgabe.

Lucas Lösung

Hier finden Sie eine mögliche Lösung, wie man den horizontalen Zusammenhang beschreiben kann.

Wie Sie an den verschiedenen Varianten von Entdecker-Päckchen sehen konnten, ist dieses Übungsformat - so wie es gestellt ist - formal und strukturiert. Die Kinder bearbeiten die Aufgaben ohne Anschauungsmaterial und die einzelnen Rechenaufgaben stehen stets in einem Zusammenhang, der von den Kindern entdeckt, beschrieben, begründet und genutzt werden kann. Bei der Bearbeitung der Aufgaben werden somit prozessbezogene Kompetenzen geschult, was neben den inhaltsbezogenen Kompetenzen für ein sicheres Verständnis mathematischer Inhalte erforderlich ist (mehr dazu auf den KIRA-Seiten „Schöne Päckchen" und „Prozessbezogene Kompetenzen"). Bei der ersten Aufgabe (Wie geht es weiter?) entdeckt Marvin bspw. mithilfe des Entdecker-Päckchens das Gesetz der Konstanz der Summe. Zunächst fällt ihm auf, dass das Ergebnis stets gleich ist. Auf die Frage nach dem Grund antwortet er vollkommen richtig, dass der erste Summand um eins verringert und der zweite Summand um eins erhöht wird. Das strukturierte Üben ermöglicht den Kindern also auch, Rechengesetze eigenständig zu entdecken.

Selbstverständlich kann es im Mathematikunterricht passieren, dass manche Kinder zur Berechnung der Entdecker-Päckchen oder zur Erklärung des Musters Wendeplättchen hinzunehmen. Dann arbeiten diese Kinder natürlich auf einem gestützt strukturiertem Niveau. Demnach kann es passieren, dass sich die Kinder in ein und derselben Klasse in verschiedenen Bereichen der Übungsmatrix tummeln.

 

4. Entdecker-Päckchen und das Spiralprinzip

  1. Betrachten Sie die untenstehenden Schülerdokumente. Welche Lösung stammt Ihrer Meinung nach von einem Kind aus der dritten Klasse, welche von einem Kind aus der fünften Klasse?
  2. Begründen Sie Ihre Entscheidung. Nach welchen Kriterien haben Sie Ihre Entscheidung getroffen?


Niklas' Lösung

Jonas' Lösung

Hier verraten wir Ihnen, welches Kind welcher Klassenstufe angehört.

Entdecker-Päckchen lassen sich gut in verschiedenen Schulstufen einsetzen. Bereits in der Schuleingangsphase kann man sie bspw. anhand leichter Additionsaufgaben einführen. Doch nicht nur in der Grundschule, sondern auch in der Sekundarstufe I finden Entdecker-Päckchen sinnvolle Verwendung. Sie können durch die Wahl des Zahlraums, der Rechenart, der Komplexität der Aufgaben sowie durch die Wahl des Themengebietes an verschiedene Klassenstufen angepasst werden. So ist es in der fünften Klasse z.B. möglich, Klammern in die Terme mit einzubinden (s. untenstehende Abb.) und auf diese Weise komplexere Aufgaben zu erstellen. In Bezug auf die prozessbezogenen Kompetenzen können Entdecker-Päckchen auch im Sinne des Spiralprinzips eingesetzt werden: Anfangs geht es nur darum, Beziehungen und Muster zu erkennen und fortzusetzen. Später sollen die Entdeckungen auch verbalisiert und begründet werden. Die Schüler können dabei auf ihre Erfahrungen mit den Entdecker-Päckchen aus den vorherigen Schuljahren zurückgreifen und somit an ihr Vorwissen anknüpfen. Dadurch kann die Vollständigkeit bzw. die Allgemeingültigkeit der Begründungen im Laufe der Schulzeit stetig zunehmen u.a. auch, weil die Schüler nicht immer „bei Null" anfangen müssen: Begründen jüngere Kinder noch mithilfe von Beispielaufgaben, formulieren ältere Schüler ihre Begründungen mit passenden Fachausdrücken und beziehen sich dabei nicht (mehr) nur auf einzelne Zahlbeispiele. Es findet also eine Niveausteigerung statt.

Kathleens Lösung

Denkbar ist auch der Einsatz von Dezimalzahlen und Brüchen. Prediger (2008, S. 41) schlägt zudem eine Übertragung auf Prozentrechnung oder auf das Zeichnen von linearen Funktionen vor. Der Entwicklung von Entdecker-Päckchen sind also kaum Grenzen gesetzt, wodurch sich dieses Übungsformat sehr gut im Sinne des Spiralprinzips immer wieder sowohl in der Primarstufe als auch in der Sekundarstufe I einsetzen lässt.

Weitere Informationen zu Entdecker-Päckchen in der Sekundarstufe I finden Sie in:

Prediger, S. (2008): Muster in Päckchen. Mit strukturierten Übungen Fertigkeiten trainieren und Strukturen erkennen. In: Mathematik 5-10. H. 3, S. 40-43. Vorversion verfügbar unter: http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~prediger/veroeff/08-Mathe5-10-Strukturierte-Paeckchen.pdf (Abruf am: 28.07.2011)

5. Verwandte Themen

Schöne Päckchen
Prozessbezogene Kompetenzen
Entdeckendes Lernen

Weitere Informationen sowie konkrete Unterrichtsanregungen zur Förderung der inhalts- und prozessbezogenen Kompetenzen mit Entdecker-Päckchen finden Sie auch auf der Website unseres Partnerprojekts PIK AS in Haus 1. Zudem finden Sie auf dieser Website weitere Anregungen für strukturierte Übungen, z.B. Umkehrzahlen, Rechenquadrate mit Ohren oder Mal-Plus-Häuser.
Wenn Sie sich noch näher mit der Stellung des Übens im Mathematikunterricht beschäftigen möchten, dann besuchen Sie doch einfach die Homepage des Projekts PriMakom („Primarstufe Mathematik kompakt“). Dabei handelt es sich um eine Selbstlernplattform für Lehrerinnen und Lehrer, die Mathematik fachfremd unterrichten und somit eine kompakte Einführung in die Grundlagen der Mathematikdidaktik benötigen. Aber auch Lehrpersonen mit einer mathematisch fundierten Ausbildung, Lehramtsanwärter sowie für Studierende können dort ihre mathematikdidaktischen Kenntnisse vertiefen. Hier finden Sie im Einstieg noch einmal eine allgemeine Darstellung der Rolle des Übens im Mathematikunterricht und von dort aus können Sie weiteres Hintergrundwissen sowie konkrete Unterrichtsideen zum strukturierten Üben erlangen.
Hier (PDF) können Sie sogar eine komplette Power-Point-Präsentation zur Übungsmatrix abrufen. Sie zeigt in kompakter und übersichtlicher Weise auf, inwiefern das Üben als Lernprozess zu verstehen ist und wie dieser Prozess in der unterrichtlichen Praxis ausgestaltet werden sollte.

6. Material

Arbeitsblätter zur Studie (Grundschule)
Arbeitsblätter zur Studie (Sekundarstufe I)

7. Literatur

 

© Jana Zimmermann für das KIRA-Team