Auf dieser Seite können Sie sich mit den folgenden drei Beispiele in die Denkweisen der Kinder zum Thema Division im Kopf sensibilisieren.
In den verschiedenen Schülerdokumenten können auftretende Fehlermuster und individuelle (aber richtige) Vorgehensweisen zum Thema erkannt und auf neue Aufgaben übertragen werden.
Lina bearbeitet den folgenden Arbeitsauftrag:
Rechne die Aufgaben im Kopf. Wie lautet das Ergebnis?
Wie würde Lina vermutlich auch den folgenden Arbeitsauftrag lösen?
Rechne die Aufgabe 54 : 6 im Kopf. Wie lautet das Ergebnis?
Überlege zunächst selbst.
Hier kannst du aus verschiedenen Antwortmöglichkeiten wählen.
Welche hältst du für wahrscheinlich?
Das halten wir für wahrscheinlich. Wie in den Beispielen oben hat Lina ermutlich gedacht: "Ich mache das so, ich ziehe von 54 immer 6 ab: Nach 54 kommt dann 48, 42, 36, 30, 24, 18, 12 und dann bin ich bei 6 angekommen. Die 6 passt also achtmal in die 54." Hier wird wie in den drei Eingangsbeispielen wiederholt subtrahiert. Dabei wird zwar bis zum Divisor korrekt subtrahiert (6), aber vergessen, dass auch das letzte Bündel (der Divisor 6) nochmals subtrahiert werden muss.
Das halten wir für unwahrscheinlich. Eine mögliche Erklärung für diesen Fehler ist, dass sich das Kind vielleicht gedacht hat: "Ich rechne zuerst 60 : 6, das kann ich besser. Das ist 10. Dann fehlt mir aber noch 6 : 6. Da kommt 1 raus. Das hat ja noch gefehlt und deshalb rechne ich das zu den 10 dazu, das ist also 11." Im Anschluss an die Hilfsaufgabe wird hier, anders als oben, der erforderliche Ausgleich von 6 : 6 = 1 addiert statt subtrahiert.
Das halten wir für unwahrscheinlich. Eine mögliche Erklärung für den in diesem Beispiel auftretenden Fehler ist, dass sich das Kind eventuell gedacht hat: "Das kann ich einfach umkehren. Ich weiß, dass 7 · 6 = 54 ist. Dann ist 54 : 6 = 7." Hier wird die Aufgabe, anders als oben, durch Anbindung an einen fehlerhaft automatisierten Zahlensatz des Einmaleins bearbeitet.
Neven bearbeitet den folgenden Arbeitsauftrag:
Rechne die Aufgaben im Kopf. Wie lautet das Ergebnis?
Wie würde Neven vermutlich auch den folgenden Arbeitsauftrag lösen?
Rechne die Aufgabe 18 : 9 im Kopf. Wie lautet das Ergebnis?
Überlege zunächst selbst.
Hier kannst du aus verschiedenen Antwortmöglichkeiten wählen.
Welche hältst du für wahrscheinlich?
Das halten wir für wahrscheinlich. Wie in oben hat Neven vermutlich gedacht: "Das Ergebnis ist 9, weil ich dann 9 + 9 = 18 rechnen kann." Hier ist, wie oben, die Schreibfigur nicht verstanden worden. Das Kind denkt vermutlich, dass der Quotient (9) angibt, was übrig bleibt, wenn man den Dividenden (18) halbiert.
Das halten wir für unwahrscheinlich. Eine mögliche Erklärung für diesen Fehler ist, dass sich das Kind eventuell gedacht hat: "Ich ziehe von der 18 die 9 so oft ab, bis ich bei 0 ankomme: 18, 9, 0. Also passt die 9 dreimal in die 18." Hier wird wiederholt subtrahiert. Statt allerdings die Anzahl der Neunen, die subtrahiert werden, zu zählen, werden die betrachteten Zwischenschritte (18, 9, 0) gezählt.
Das halten wir für unwahrscheinlich. Eine mögliche Erklärung für diesen Fehler ist, dass sich das Kind vielleicht gedacht hat: "Ich rechne 18 - 8 = 10 und 9 - 8 = 1, weil 10 : 1 einfach zu rechnen ist. Das ergibt 10. Also ist das das Ergebnis von 18 : 9, weil ich beide Zahlen gleich verändert habe und das Ergebnis dann auch gleich bleibt." Hier wird die Hilfsaufgabe durch gleichsinniges Verändern des Dividenden und Divisors gebildet (-8). Allerdings wird fälschlicherweise davon ausgegangen, dass durch eine "gleichsinnige Subtraktion" das Ergebnis gleich bleibt. Jedoch ist das bei der Division nur der Fall, wenn beide Zahlen mit dem gleichen Faktor (z.B. beide Zaheln "mal 5") oder durch den gleichen Divisor (beide Zahlen "durch 3") gleichsinnig verändert werden.
Mesut bearbeitet den folgenden Arbeitsauftrag:
Rechne die Aufgaben im Kopf. Wie lautet das Ergebnis?
Wie würde Mesut vermutlich auch den folgenden Arbeitsauftrag lösen?
Rechne 26 : 6 im Kopf. Wie lautet das Ergebnis?
Überlege zunächst selbst.
Hier kannst du aus verschiedenen Antwortmöglichkeiten wählen.
Welche hältst du für wahrscheinlich?
Das halten wir für wahrscheinlich. Wie in den Beispielen oben ist auch hier das Ergebnis um 2 größer ist als das eigentliche Ergebnis. Vermutlich hat Mesut das Ergebnis der Hilfsaufgabe, wie auch in den drei Eingangsbeispielen, richtig mit 4 berechnet und dann den Rest nicht als Rest notiert, sondern zu seinem Ergebnis addiert (4 + 2 = 6).
Das halten wir eher für unwahrscheinlich, denn hier wird, im Gegensatz zu den drei Eingangsbeispielen, die größte Zahl als Ergebnis notiert (4), die angibt, wie oft der Divisor (6) in den Dividenden (26) passt. Das Kind nennt hier vermutlich den Rest (2) nicht.
Das halten wir eher für unwahrscheinlich, denn in den drei Eingangsbeispielen wird nie eine um 1 größere Zahl angegeben als die jeweils größte Zahl (4), die angibt, wie oft der Divisor (6) in den Dividenden (26) passt. Eine mögliche Erklärung könnte sein, dass das Kind das bei der Subtraktion funktionierende gleichsinnige Verändern (26 - 6 = 25 - 5) auf die Division überträgt (26 : 6 = 25 : 5) und so zum Ergebnis 5 gelangt.
Das halten wir für wahrscheinlich. Auch in diesem Beispiel ist das Ergebnis wie in den Beispielen oben um 1 zu groß. Dies liegt vermutlich daran, dass der Zählprozess zwar bei 8 begonnen und korrekt durchgeführt wurde, jedoch die dem korrekten Ergebnis folgende Zahl angegeben wird. Sie hat sich vermutlich gedacht: "Ich muss zur 7 insgesamt 8 dazu zählen. Also rechne ich 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Das Ergebnis ist also 16."
Das halten wir für unwahrscheinlich. Eine mögliche Erklärung könnte darin bestehen, dass zunächst an den Fingern von 7 (statt von der 8) bis 10 gezählt wird: 7, 8, 9, 10. Die verbleibenden 4 Finger können dann genutzt werden, um von 10 (statt von 11) weiterzuzählen: 10,11,12,13.