Das Problemfeld „Summen von Reihenfolgezahlen" eignet sich, um inhalts- und prozessbezogene Kompetenzen zu schulen.
An dieser Stelle erhalten Sie die Möglichkeit, das Aufgabenformat zu erkunden und Schülerdokumente und Videos mit dem Fokus auf prozessbezogene Kompetenzen zu analysieren.
Lauras Findestrategie
Eigenaktivität
Die Drittklässlerin Laura sucht nach allen Summen aufeinanderfolgender Zahlen, bei denen das Ergebnis höchstens 20 ist:
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Reihenfolgezahlen - eigene Erkundung und typische Vorgehensweisen von Kindern
Summen aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen (Reihenfolgezahlen) sind beispielsweise 2+3, 14+15+16 und 78+79+80+81, nicht jedoch 2+4+6 oder 0+1+2. Im Kontext solcher Summen lassen sich verschiedene substanzielle Aufgaben für unterschiedliche Jahrgangsstufen entwickeln. In Interviews haben wir Kindern des dritten und vierten Schuljahres die beiden folgenden Aufgaben gestellt:
(1) Finde alle Plusaufgaben aus Reihenfolgezahlen, bei denen das Ergebnis nicht größer als 20 ist.
(2) Warum sind das alle?
Eigenaktivität
Um die Vorgehensweisen der Kinder besser zu verstehen und um zu erkennen, warum diese Aufgabe von den Kindern mehr erfordert als lediglich das Ausrechnen von Additionsaufgaben, versuchen Sie zunächst selbst die beiden Aufgaben zu lösen.
Überlegen Sie auch, wie viele Summen aus Reihenfolgezahlen es gibt, bei denen das Ergebnis nicht größer als 50 (100) ist.
Selter und Schwätzer (2000) haben festgestellt, dass viele Schülerinnen und Schüler beim Lösen der Aufgabe zunächst einmal ausprobieren bzw. diejenigen Möglichkeiten notieren, die ihnen spontan einfallen. Nach einer gewissen Anlaufzeit zeigen die Kinder häufig systematischere Findestrategien.
Diese Strategien werden allerdings oftmals nicht konsequent, sondern wechselhaft springend angewendet, was man auch an Lauras Vorgehen in dem Einstiegsbeispiel gut erkennt: Bei den Summen von zwei aufeinanderfolgender Zahlen erhöht sie die Summanden beispielsweise immer um eins (2+3, 3+4, 4+5, 5+6 usw.), wohingegen sie neue Summen drei aufeinanderfolgender Zahlen bildet, indem der letzte Summand der bereits notierten Aufgabe der erste Summand der neuen Aufgabe ist (1+2+3, 3+4+5, 5+6+7).
Prozessbezogene Kompetenzen im Kontext von "Summen aus Reihenfolgezahlen"
Unter prozessbezogenen Kompetenzen versteht man Verfahren, „die von Schülerinnen und Schülern verstanden und beherrscht werden sollen, um Wissen anwenden zu können" (KMK 2004, S. 6). Sie umfassen gemäß der Bildungsstandards das Problemlösen, Kommunizieren, Argumentieren, Modellieren und Darstellen.
Der Erwerb dieser Kompetenzen stellt ebenso wie der Erwerb inhaltsbezogener Kompetenzen ein wesentliches Ziel des Mathematikunterrichts dar. Die Lehrerin muss im Unterricht dementsprechend Aufgaben bereitstellen, die es den Kindern neben dem Erwerb von Kenntnissen und Fertigkeiten auch ermöglichen, ihre prozessbezogenen Kompetenzen weiterzuentwickeln.
Dies bedeutet zugleich aber auch, dass die Lehrerin in der Lage sein muss durch Beobachtungen der Kinder, durch deren verbale Äußerungen und schriftliche Dokumente, Aussagen über die prozessbezogenen Kompetenzen der Kinder treffen und sie entsprechend fördern und fordern zu können.
Wollen Sie noch mehr über prozessbezogene Kompetenzen erfahren? Dann klicken Sie hier.
Eigenaktivität
An dieser Stelle soll es für Sie darum gehen, zu erkunden, welche prozessbezogenen Kompetenzen bei der Bearbeitung des obigen Aufgabenformates angesprochen werden.
Informieren Sie sich, welche Kompetenzerwartungen im Mathematiklehrplan NRW im Hinblick auf den Erwerb prozessbezogener Kompetenzen bis zum Ende der vierten Klasse an die Kinder gestellt werden.
Überlegen Sie, welche der dort genannten prozessbezogenen Kompetenzen mit der Aufgabe „Finde alle Plusaufgaben aus Reihenfolgezahlen, bei denen das Ergebnis nicht größer ist als 20", angesprochen werden. Begründen Sie ihre Aussage.
Videoanalyse
Natürlich ist eine saubere Abgrenzung der prozessbezogenen Kompetenzen voneinander nicht immer möglich, was schon anhand der verschiedenen Definitionen in den verschiedenen Lehrplänen und den Bildungsstandards deutlich wird (vgl. Kompetenzen im Mathematikunterricht).
Doch gerade, wenn es darum geht, das Vorgehen der Kinder besser zu verstehen, ist es manchmal von Nöten sich einen Beobachtungsschwerpunkt zu setzen und damit manchmal auch weitere prozessbezogene Kompetenzen, die das Kind zeigt, vorübergehend ‚auszublenden‘. Genau um diese Fokussierung wird es bei der Analyse der folgenden Videos gehen.
Problemlösen/kreativ sein
Eigenaktivität
Die folgenden Videos zeigen, wie Theresa, Nick und Sonja die Aufgabe „Finde alle Plusaufgaben aus Reihenfolgezahlen, bei denen das Ergebnis nicht größer als 20 ist" lösen.
1.Suchen Sie diejenigen Stellen in den Videos heraus, an denen Sie erkennen, dass die Kinder die im Mathematiklehrplan NRW angegebenen Teilkompetenzen
- probieren zunehmend systematisch und zielorientiert
- nutzen die Einsicht in Zusammenhänge zur Lösungsfindung
- reflektieren und überprüfen
zeigen.
2. Erörtern Sie anhand eines der Videos die Problemlösekompetenzen des Kindes. Erläutern Sie, woran Sie das festmachen.
Theresa
Nick
Sonja
Argumentieren
Eigenaktivität
In den Interviews wurden die Kinder gebeten zu begründen, weshalb es keine weiteren Plusaufgaben aus Reihenfolgezahlen geben kann, die die Bedingung „kleiner oder gleich 20" erfüllen.
1. Suchen Sie auch hier diejenigen Stellen in den Videos heraus, an denen Sie erkennen, dass die Kinder die im Mathematiklehrplan des Landes NRW angegebenen Teilkompetenzen
- stellen Vermutungen über mathematische Zusammenhänge oder Auffälligkeiten an (vermuten)
- hinterfragen, ob ihre Vermutungen, Lösungen, Aussagen, etc. zutreffend sind (überprüfen)
- bestätigen oder widerlegen ihre Vermutungen und entwickeln - ausgehend von Beispielen - ansatzweise allgemeine Überlegungen
zeigen.
2. Beschreiben Sie, wie die Kinder die Vollständigkeit ihrer Lösung begründen.
Jakob
Dennis
Sonja
Weiterführende Aufgabe
Eigenaktivität
Der Drittklässler Christoph hat eine Darstellung der gefundenen Aufgaben gewählt, die neben den geforderten Begründungen weitere Entdeckungen zulässt.
- Welche Entdeckung macht Christoph? Versuchen Sie diese mit eigenen Worten zu beschreiben.
- Wie begründet er das gefundene Muster?
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Falls Sie nicht sicher sind, ob Ihre Lösungen bei den Summen der Reihenfolgenzahlen vollständig sind und ihre Begründungen in die richtige Richtung führen, können Sie in den folgenden Texten Hinweise zur Lösung der Aufgaben bekommen.
Steinbring, H. & Scherer, P. (2004). Zahlen geschickt addieren. In G. Müller, H. Steinbring & E. Wittmann (Hrsg.), Arithmetik als Prozess (S. 55-69). Seelze: Kallmeyer.
Steinbring, H. & Scherer, P. (2004). Summenformeln. In G. Müller, H. Steinbring & E. Wittmann (Hrsg.), Arithmetik als Prozess (S. 237-254). Seelze: Kallmeyer.
Schauen Sie hier, um einen Überblick über die von Selter & Schwätzer (2000) beschriebenen Strategien (s. Punkt 2) zu erhalten:Reihenfolgezahlen: Findestrategien
Informations-, Unterrichts- und Fortbildungsmaterial zum Thema 'Prozess- und inhaltsbezogene Kompetenzen' finden Sie auch in Haus 1 'Entdecken, Beschreiben, Begründen' unseres Partnerprojekts PIK AS. In Haus 7 werden außerdem - neben der Förderung von prozessbezogenen Kompetenzen - weitere Charakteristika und unterrichtliche Einsatzmöglichkeiten 'guter Aufgaben' thematisiert.
Material
Interviewleitfaden
Literatur
