Eine Initiative der
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Zahlengitter

Das Aufgabenformat Zahlengitter (vgl. de Moor 1980; Selter 2004) bietet vielfältige Möglichkeiten inhalts- und prozessbezogene Kompetenzen zu fördern.

Diese Seite gibt Ihnen die Gelegenheit, Kinder beim Entdecken, Erforschen und Erklären der Zahlengitter zu beobachten und insbesondere ein Bewusstsein für den Verlauf solcher Lösungsprozesse zu entwickeln.

1. „Finde alle Zahlengitter zur Zielzahl 20"- Sibels Vorgehen

Um alle Zahlengitter zu einer vorgegebenen Zielzahl zu finden, ist es notwendig die Struktur des Aufgabenformats zu erforschen, Vermutungen anzustellen, mathematische Zusammenhänge zu entdecken und diese zur Lösungsfindung zu nutzen.

Das folgende Video illustriert diese Tätigkeiten. Um das Vorgehen der Drittklässlerin Sibel zu verstehen, ist eine Kenntnis des Aufgabenformats notwendig. Sollten Sie die Aufgabenvorschrift nicht kennen, so informieren Sie sich hier.

Informieren Sie sich, welche Kompetenzerwartungen im Mathematiklehrplan oder den Bildungsstandards im Hinblick auf den Erwerb von Problemlöse-, Kommunikations- und Argumentationskompetenzen bis zum Ende der vierten Klasse an die Kinder gestellt werden.

 

2. Prozessbezogene Kompetenzen im Kontext von Zahlengittern

In den Bildungsstandards für die Grundschule wird der Erwerb prozessbezogener Kompetenzen wie dem Problemlösen, Argumentieren und Kommunizieren hervorgehoben. In den Bildungsstandards heißt es entsprechend:

Grundlegende mathematische Bildung zeigt sich in fachbezogenen Kompetenzen, d.h. durch das Zusammenspiel von Kompetenzen, die sich primär auf Prozesse beziehen (prozessbezogene Kompetenzen), und solche, die sich primär auf Inhalte beziehen (inhaltsbezogene Kompetenzen). Sie entwickeln sich bei der aktiven Auseinandersetzung der Schülerinnen und Schüler mit mathematischen Situationen.

KMK 2005, S. 6

Darin steckt zum einen die Forderung prozess- & inhaltsbezogene Kompetenzen zu fördern, zugleich steckt in dem Zitat aber auch die Forderung, Kinder Mathematik als Tätigkeit erleben zu lassen.

Die Kinder sollen unter anderem Interesse und Neugier an mathematikhaltigen Phänomenen entwickeln, Problemstellungen bearbeiten und dabei Zusammenhänge erschließen, Vermutungen anstellen, systematisch probieren, reflektieren und prüfen, übertragen, variieren und erfinden, Beziehungen und Gesetzmäßigkeiten erklären können (vgl. MSW NRW 2008, S. 55 f.).

Eben diese Tätigkeiten sind in dem Einstiegsbeispiel zu beobachten. Da die beiden Pluszahlen nicht vorgegeben sind, muss Sibel sich überlegen, welche Zahlen sie als Pluszahlen einsetzen kann, um die vorgegebene Zielzahl zu erreichen.

Nach dem anfänglichen Ausprobieren verschiedener Pluszahlen entdeckt sie unter anderem, dass die Pluszahlen jeweils nicht größer als 10 sein können. Diese Erkenntnis könnte sie nun im weiteren Lösungsprozess nutzen, um weitere Pluszahlpaare zu finden.

Wie kann es nun weitergehen? Nachdem Sibel ihres Erachtens alle Pluszahlpaare gefunden hat, stellt sich fast selbstverständlich die Frage, weshalb es keine weiteren geben kann. Dies erfordert mathematische Begründungen ihrerseits.

Doch was bedeutet die Forderung nach dem mathematisch Tätigsein für den Unterricht und insbesondere für den Lehrer bzw. die Lehrerin?

Die Lehrerin oder der Lehrer muss Aufgaben, wie beispielsweise die obige Zahlengitteraufgabe, bereitstellen, die den Kindern neben dem Erwerb von Kenntnissen und Fertigkeiten auch ermöglichen, ihre prozessbezogenen Kompetenzen weiterzuentwickeln.

Dies bedeutet zugleich aber auch, dass der Lehrende in der Lage sein muss, die Vorgehensweisen der Kinder zu verstehen und durch Beobachtungen der Kinder, durch deren verbale Äußerungen und schriftliche Dokumente, Aussagen über ihre prozessbezogenen Kompetenzen treffen und sie entsprechend fördern und fordern zu können.

 

3. Eigene Erkundung eines Zahlengitters

Wenn Sie im Unterricht problemstrukturierte Aufgaben einsetzen, um Kindern das mathematische Tätigsein zu ermöglichen und um deren prozessbezogene Kompetenzen zu fördern, so ist es für Sie wichtig, Einsichten in die Besonderheiten beim Lösen der Aufgaben - in diesem speziellen Fall der Zahlengitter - zu gewinnen.

An dieser Stelle soll es daher darum gehen, sich zunächst durch ein Selbstexperiment und anschließend durch die Betrachtung von kommentierten Schülervorgehensweisen bewusst zu machen, wodurch Entdeckungs- und Erforschungsprozesse gekennzeichnet sind.

Arbeiten Sie wenn möglich zu zweit. Einer von Ihnen übernimmt die Rolle des Entdeckers, der andere die des Beobachters:

Entdecker:

Lösen Sie die nachfolgenden Aufgaben in einem 3×3 Zahlengitter. Versuchen Sie dabei die eigenen Gedanken zu verbalisieren.

Finden Sie alle Zahlengitter mit der Zielzahl 20.
Was fällt Ihnen auf? Markieren oder schreiben Sie auf!
Warum gibt es nicht mehr Zahlengitter mit der Zielzahl 20? Begründen Sie.
(Hinweis: Sollten Sie genau diese Aufgabe bereits kennen und gelöst haben, so nutzen Sie anstelle des 3×3 Gitters ein 4×4 oder 4×5 Gitter oder versuchen Sie die weiterführenden Aufgabenstellungen zu lösen.)

3x3 Zahlengitter

4x4 Zahlengitter

4x5 Zahlengitter

weiterführende Aufgabenstellungen

Beobachter:

Versuchen Sie den Lösungsprozess unter folgenden Gesichtspunkten genau zu beobachten:

Wie ist Ihr/e Partner/in vorgegangen?
Welche Strategien hat er/sie verfolgt?
Wann hat er/sie diese gegebenenfalls wieder verworfen?
(Ein Tipp: Notieren Sie die Vorgehensweisen Ihres Partners/Ihrer Partnerin.)

 

Gemeinsame Reflexion:

Vergleichen Sie die Vorgehensweisen Ihres Partners, wenn möglich auch mit Vorgehensweisen weiterer Kommilitonen. Welche allgemeinen Erkenntnisse konnten Sie im Hinblick auf den Erkundungsprozess aus dem Vorgehen ziehen?

 

Konkretisieren Sie, inwiefern die im Mathematiklehrplan NRW aufgelisteten prozessbezogenen Kompetenzen mit der Aufgabe „Finde alle Zahlengitter zur Zielzahl 20" angesprochen werden. Begründen Sie dazu Ihre Aussagen konkret an den Lehrplaninhalten und den Ihnen gestellten Aufgaben zu den Zahlengittern.

 

4. Videodokumentation: Entdecken, Erforschen und Erklären an Zahlengittern

Wir haben Kindern des dritten und vierten Schuljahres allein oder zu zweit 3×3 Zahlengitter vorgelegt und ihnen ebenfalls die obigen Entdeckeraufträge gestellt.

1. Betrachten Sie die beiden dokumentierten Videos mehrmals und

a) halten Sie die Vorgehensweisen der Kinder fest. Ein Tipp: Protokollieren Sie dazu zunächst die Aussagen des Kommentators.

b) vergleichen Sie die Videos. Was fällt Ihnen dabei auf? An welchen Stellen gibt es Gemeinsamkeiten, wo Unterschiede?

2. Vergleichen Sie die Lösungswege der Kinder auch mit dem eigenen Vorgehen bzw. dem Vorgehen ihres Partners. Was fällt Ihnen auf?

3. Welche weiteren Vorgehensweisen erwarten Sie von den Kindern?

Die beiden vorangegangenen Aufgaben sollten Ihnen Einsichten in die Besonderheiten des Problemlösens in diesem speziellen Fall des Lösens von Zahlengittern liefern. Hier finden Sie eine kurze Zusammenfassung der Besonderheiten.

 

5. Typische Vorgehensweisen

Einige Vorgehensweisen und Strategien sind beim Lösen der Aufgabe „Finde alle Zahlengitter zur Zielzahl 20" häufig zu beobachten (vgl. Selter 2004). Diese Vorgehensweisen und Strategien beruhen in der Regel auf Entdeckungen der Kinder, die sie jedoch nicht immer verbalisieren.

Die folgende Tabelle gibt Ihnen einen Überblick und verdeutlicht die Vorgehensweisen anhand von Beispielen. Beachten Sie, dass die Kinder beim Lösen der Aufgabe in der Regel nicht genau eine der Strategien nutzen, sondern häufig Mischformen verwenden und zwischen den Strategien wechseln (vgl. Eike & Janis; Paula & Lara).

Prinzipiell kann man bei den Kindern zwischen Unterschieden in den Rechenwegen im Zahlengitter und den konkreten Vorgehensweisen beim Finden der Pluszahl unterscheiden.

 

Vorgehensweise/Strategie: Addition einer ausgewählten Pluszahl von der Startzahl (Rechenweg)

Entdeckung und mögl. Handlung: Die Kinder wählen eine Pluszahl und addieren diese ausgehend von der Startzahl, um die zweite Pluszahl zu bestimmen.

 

Vorgehensweise/Strategie: Subtraktion einer ausgewählten Pluszahl von der Zielzahl (Rechenweg)

Entdeckung und mögl. Handlung: Die Kinder wählen eine Pluszahl und subtrahieren diese ausgehend von der Zielzahl, um die zweite Pluszahl zu bestimmen.

 

Vorgehensweise/Strategie: Addition zweier festgelegter Pluszahlen von der Startzahl

Entdeckung und mögl. Handlung: Die Kinder wählen zwei Pluszahlen und überprüfen, ob diese zur gesuchten Zielzahl führen.

 

Vorgehensweise/Strategie: Strategisches Annähern (von oben nach unten bzw. unten nach oben)

Entdeckung und mögl. Handlung: Die Kinder entdecken, dass das ausgewählte Pluszahlpaar nicht passt. Die erhaltene Zielzahl ist zu groß oder zu klein. Als Konsequenz werden einer oder beide Summanden so lange verringert oder erhöht, bis die Zielzahl erreicht ist.

 

Vorgehensweise/Strategie: Zerlegen der Mittelzahl 10 in zwei Summanden, die dann als Pluszahlen dienen

 

Entdeckung und mögl. Handlung: Die Kinder entdecken, dass die Mittelzahl immer 10 ist. Sie zerlegen die 10 in zwei Summanden und setzen diese als Pluszahlen ein. Die 10 wird beispielsweise in 5-5 oder 2-8 zerlegt.

 

Vorgehensweise/Strategie: Operatives Variieren der Pluszahlen

Entdeckung und mögl. Handlung: Das Pluszahlpaar 2-8 ist bekannt. Daraus werden 3-7, 4-6 usw. abgeleitet, indem der eine Summand um 1 erhöht der andere um 1 verringert wird. Der Zusammenhang zur Mittelzahl und auch die Erkenntnis, dass die Pluszahlen zusammen immer 10 ergeben, müssen bei diesem Vorgehen nicht unbedingt klar sein.

 

Vorgehensweise/Strategie: Ableiten einer Pluszahl von seinem Tauschpaar

Entdeckung und mögl. Handlung: Das Pluszahlpaar 2-8 ist bekannt, davon wird das Tauschpaar 8-2 abgeleitet.

 

Vorgehensweise/Strategie: Finden der zweiten Pluszahl durch Bestimmung der Differenz zwischen einer Rand- & der Zielzahl

Entdeckung und mögl. Handlung: Eine Pluszahl wird festgelegt. Die obere oder linke Randzahl wird berechnet, anschließend wird die zweite Pluszahl bestimmt, indem die Differenz zwischen Randzahl und Zielzahl halbiert wird.

Schauen Sie sich die Vorgehensweisen von Carmen und Oktay an und beschreiben Sie mit Hilfe der oben angegebenen Strategien die Problemlöseprozesse der Kinder.
Carmen
Oktay

Mehr Hinweise zur Aufgabenvorschrift sowie zur Struktur des Zahlengitters nach de Moor (1980, 61 ff.) finden Sie in:

Selter, Ch. (2004). Mehr als Kenntnisse und Fertigkeiten. Basispapier zum Modul 2: Erforschen, entdecken und erklären im Mathematikunterricht der Grundschule.

Möchten Sie sich genauer über die prozessbezogenen Kompetenzen informieren, schauen Sie hier.

Informations-, Unterrichts- und Fortbildungsmaterial zum Thema 'prozess- und inhaltsbezogene Kompetenzen' finden Sie auch in Haus 1 'Entdecken, Beschreiben, Begründen' unseres Partnerprojekts PIK AS. In Haus 7 werden außerdem - neben der Förderung von prozessbezogenen Kompetenzen - weitere Charakteristika und unterrichtliche Einsatzmöglichkeiten 'guter Aufgaben' thematisiert.

 8. Literatur