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Vorgehensweisen bei der halbschriftlichen Subtraktion

Auf dieser Seite erhalten Sie die Möglichkeit, sich mit Vorgehensweisen von Grundschülern bei Aufgaben zur halbschriftlichen Subtraktion auseinanderzusetzen. Anhand von Schülerdokumenten und Videos werden Einblicke in die Vorgehensweisen von Schülerinnen und Schülern gegeben und charakteristische Schwierigkeiten näher betrachtet.v:mllp

1. Moritz rechnet 34198-17210

Der Drittklässler Moritz sollte zu Beginn des Schuljahres die Aufgabe 34198 - 17210 lösen. Zu diesem Zeitpunkt lernte er gerade den Zahlenraum bis 1000 kennen, das Verfahren der schriftlichen Subtraktion war ihm noch nicht bekannt, und ein Taschenrechner stand ihm ebenfalls nicht zur Verfügung.

Schauen Sie sich an, wie Moritz rechnet und Moritz und überlegen Sie, was das Besondere an seiner Vorgehensweise ist.                              

Was soll dieses Beispiel verdeutlichen?

Moritz versucht zunächst die Aufgabe im Kopf zu lösen und nur das Ergebnis zu notieren, stellt dabei jedoch fest, dass er sich nicht alle notwendigen Zwischenschritte merken kann. Um dennoch ohne weitere Hilfsmittel zur Lösung zu kommen, rechnet Moritz halbschriftlich. Er erleichtert sich das Lösen der Aufgabe, indem er einige Teilschritte und Teillösungen notiert. Besonders bemerkenswert dabei ist Moritz Lösungsweg: Er löst die Aufgabe nicht durch Abziehen, sondern durch Ergänzen.

2. Hintergrundwissen zur halbschriftlichen Subtraktion

Das zentrale Kennzeichen des halbschriftlichen Rechnens ist genau diese Zerlegung von komplizierten Aufgaben in leichtere Teilaufgaben. Dabei werden, wie Moritz es zeigt, einzelne Rechenschritte sowie Teilergebnisse notiert, bis am Schluss das Ergebnis ermittelt ist (vgl. Wittmann & Müller 1993, S. 85). Das halbschriftliche Rechnen zeichnet sich durch folgende Charakteristika aus:

  • Die Rechenwege sind beim halbschriftlichen Rechnen im Gegensatz zu den schriftlichen Algorithmen nicht vorgegeben.
  • Die Notationsweise ist nicht festgelegt. Die Kinder notieren nicht unbedingt alle Teilschritte.
  • Welche Lösungsstrategie - aus der Sicht geübter Rechner - sinnvoll oder weniger sinnvoll ist, hängt von den Zahlenwerten der jeweiligen Aufgabe ab.

2.1. Hauptstrategien

Es gibt typische Hauptstrategien halbschriftlichen Rechnen, die auch bei der halbschriftlichen Subtraktion zu unterscheiden sind (vgl. Padberg 2005, S. 170-173; Benz 2005, S. 61-64). Einige davon werden auch in vielen Schulbüchern explizit angesprochen, andere seltener. Dabei unterscheidet man übergreifend zwischen einem stellen- oder schrittweisen vorgehen oder dem nutzen von Ableitungsstrategien. Bei der Subtraktion ergibt sich durch die  Grund-vorstellung des Ergänzens in Bezug auf das stellen- und schrittweise die Besonderheit, Subtraktionsaufgaben auch unter dieser Grundvorstellung zu lösen und somit auch beim halbschirftlichen Rechnen entsprechende (additive) Ergänzuungsaufgaben aufzustellen.

 Selbstverständlich treten im Unterricht diese Strategien nicht immer in Reinform auf. Auch Variationen und Mischformen der Strategien sind möglich. Alle Strategien sollten dabei ihre Berechtigung finden.

 Folgende Hautpstrategien werden unterschieden (vgl. Padberg 2005, S. 170-173; Benz 2005, S. 61-64):

Strategie Beispiel

Schrittweise

Der Subtrahend wird hierbei (meistens in Stellenwerte) zerlegt und schrittweise vom Minuenden subtrahiert. Die Vorgehensweisen und Notationen sind dabei durchaus unterschiedlich. Charakteristisch für diese Strategie ist, dass der Minuend unverändert bleibt und der Subtrahend in Schritten abgezogen wird.

Stellenweise

Minuend und Subtrahend werden in ihre jeweiligen Stellenwerte zerlegt. Dann werden Hunderter, Zehner und Einer der Minuenden vom Subtrahenden subtrahiert.  In einigen Fällen werden auch Zehner und Einer in einem Schritt subtrahiert. Potenzielle Schwierigkeiten treten vor allem dann auf, wenn ein Stellenwert des Minuenden größer ist als im Subtrahenden

Mischform aus Stellen- und Schrittweise

Minuend und Subtrahend werden in ihre Stellenwerte zerlegt. Oftmals wird dann ein Stellenwert stellenweise subtrahiert, z.B. die Zehner im nebenstehenden Beispiel. Dann wird schrittweise weiter gerechnet.

Hilfsaufgabe

Durch Auf- oder Abrunden einer Zahl auf den nächsten vollen Zehner oder Hunderter oder in speziellen Fällen auch durch Analogieaufgaben werden Hilfsaufgaben generiert, die durch eine nachträgliche Korrektur ausgeglichen werden.

Vereinfachen

Minuend und Subtrahend werden nach dem Gesetz der Konstanz der Differenz gleichsinnig verändert. So entsteht eine leichter zu rechnenden Aufgabe, indem z.B. eine der beiden Zahlen auf eine Schwellenzahl auf-/ abgerundet wird und gleichzeitig die andere Zahl um diesen Wert gleichsinnig verändert wird.

Ergänzen

Vom Subtrahenden wird oftmals stellengerecht (wie im nebenstehenden Beispiel) oder mit dem Ziel, glatte Zwischenergebnisse zu bekommen, zum Minuenden ergänzt  Diese Strategie kann als Sonderfall der Strategie Schrittweise aufgefasst werden, da hier in Schritten vom (unveränderten) Subtrahenden zum Minuenden ergänzt wird

Bei einer Untersuchung von Selter (2000) zu den Vorgehensweisen von Grundschülerinnen bei Aufgaben zur Addition und Subtraktion im Zahlenraum bis 1000 stellte sich heraus, dass die Mehrzahl der Kinder unabhängig von den Zahlenwerten die Rechenstrategien "Schrittweise" und "Stellenweise" nutzten, obwohl ihnen der Rechenweg freigestellt war.

Zudem stellte sich heraus, dass die Kinder oftmals bei der Berechnung verschiedener Aufgaben eine Hauptstrategie beibehielten und nicht aufgabenabhängig die Strategie wechselten.

Im Unterricht sollte durch entsprechende, auch materialgestütze, Thematisierung einzelner Strategien und ihres aufgabenbezogenen Einsatztes diese wenig flexible Nutzung entgegengewirkt werden.

2.2. Typische Fehler

Beim halbschriftlichen Lösen von Subtraktionsaufgaben treten, ähnlich wie bei der halbschiftlichen Addition, manche Fehler vermehrt auf. 

Meseth & Selter kategorisreten in ihrer Studie sognannent typischen Fehler (2002, S. 55 ff.). Dabei muss in diagnostischen Prozessen unterschieden werden, inwiefern es sich um Merk-, Rechen- oder Verständnisfehler handelt. Denn je nach Art des Fehlers und den dahinterliegenden (fehlerhaften) Vorstellungen müssen diese unterschiedliche aufgearbeitet werden. Auch der Bezug zubestimmten Strategien kann festgestellt werden. So treten gewisse Fehler z.B. hauptsächlich beim Ausgleich einer Hilfsaufgabe aus.

Die folgenden Schülerdokumente sollen dafür einen ersten EInblick geben

Erkennen Sie die Fehler? Überlegen Sie auch zunächst selbst, was hinter diesen fehlerhaften Vorgehensweisen stecken könnte.  

845 - 399 = 554 701 - 698 = 1 701 - 698 = 97

Wie sind diese fehlerhaften Lösungen vielleicht entstanden? 

 

Hier finden Sie eine kompetenzorientierte Erklärung der Rechenfehler.

3. Eigene Erkundungen der halbschriftlichen Subtraktion

3.1. Analyse der Hauptstrategien

Im Folgenden sehen Sie Lösungswege von Dritt- und Viertklässler/innen, die den Hauptstrategien der halbschriftlichen Subtraktion zugeordnet werden können.

 
Versuchen Sie die Lösungswege der Kinder, soweit dies möglich ist, jeweils einer der oben angegebenen Strategien zuzuordnen! 
Welche Strategien haben die einzelnene Kinder wohl genutzt?

Hier finden Sie eine mögliche Zuordnung der Schülerdokumente zu den oben beschriebene Vorgehensweisen.

3.2. Analyse individueller Lösungswege

Auch wenn verschiedene Kinder die gleiche Strategie einschlagen, kann man trotzdem immer individuelle Unterschiede in der Durchführung bzw. Anwendung und Notation der jeweiligen Strategie erkennen.

Im Folgenden sehen Sie drei Kinder, die alle versuchen mit der Strategie "Stellenweise", die ihnen vorgelegte Aufgabe zu lösen. Die dahinter liegenden individuellen Denkweisen der Kinder sollen dadurch verdeutlich werden.

Schauen Sie sich zunächst die Dokument und dann die Videos an. Überlegen Sie, worin die Unterschiede im Vorgehen der Kinder innerhalb der Strategie "Stellenweise" bestehen.

     

Mourice, 3. Klasse

Florian, 4. Klasse

Melissa, 3. Klasse

 Was ist das besondere an dem jeweiligen Vorgehen der Kinder?

 

Hier finden Sie eine mögliche Analyse der unterschiedlichen Vorgehensweisen.

 

3.3. Analyse typischer Fehler

Wie bereits im Abschnitt 2.2. verdeutlicht, gibt es typische Fehler bei der halbschriftlichen Subtraktion.

Im Folgenden sollen Sie die abgebildeten Kinderrechenwege von Melissa, Mourice und Anna betrachten. Verstehen Sie auf Anhieb, wie die Fehler von Melissa und Mourice zustande kommen?

Und Anna rechnet die Aufgabe letztendlich zar wie unten angegeben und kommt zu dem korrekten Ergebnis 55. Zuvor kommt sie aber auf die Lösung 41, etwas später auf 39. Haben Sie eine Erklärung, wie sie auf 41 und 39 kommt?

Analysieren Sie zunächst die Dokumente und schauen Sie sich dann die Videos an. Überlegen Sie, welche der oben beschriebenen Fehler die Kinder machen.

 

   

Melissa, 3. Klasse


 

Mourice, 3. Klasse


 

Anna, 4. Klasse

Welche Rechenfehler haben die Kinder gemacht?

 Hier finden Sie eine kompetenzorientierte Analyse der Fehler.

3.4. Das KIRA-Quiz

Beim KIRA-Quiz können Sie weiterhin testen, wie gut Sie sich schon in das mathematische Denken von Kindern bei der halbschriftlichen Subtraktion hineinversetzen können. Wir haben Kinder die Subtraktionsaufgaben 62-39 sowie 53-28 rechnen lassen. Auf den QUIZ Seiten finden Sie zehn unterschiedliche Schülerlösungen für diese Aufgaben, und Sie können versuchen, selbst herauszufinden, wie die Kinder gerechnet haben.

4. Weiterführende Aufgabe

Hier finden Sie weitere Kinderdokumente zur Analyse aus einer Bachelorarbeit zur halbschriftlichen Subtraktion. In dieser Arbeit wurde untersucht, ob es mögliche Einflussfaktoren auf die Wahl der Strategie gibt. Hierzu wurden gezielt die Einflussfaktoren "mit oder ohne Kontextbezug" und "bekannter oder unbekannter Zahlenraum" betrachtet. Zudem wurde die Fehleranfälligkeit einzelner Strategien analysiert.

Materialien zum Thema 'Rechnen auf eigenen Wegen' sowie 'Vom halbschriftlichen zum schriftlichen Rechnen' finden Sie auf der Website des Projekts PIK AS in Haus 5 'Individuelles und gemeinsames Lernen'.

Die meisten Erwachsenen kennen aus der Schule entweder nur die schriftlichen Rechenverfahren oder nutzen im Alltag intuitiv halbschriftliche Vorgehensweisen. Als Lehrperson mit dem Fach Mathematik sollten Sie allerdings die große Vielfalt halbschriftlicher Rechenverfahren kennen und im Unterricht mit Blick auf die individuellen Vorlieben der Lernenden für die eine oder andere Strategie thematisieren. Kompakte Hintergrundinformationen sowie unterrichtspraktische Hinweise zu den halbschriftlichen Rechenstrategien finden Sie hier.