Eine Initiative der
DTS_Logo_CB_3c_n.png
 

Vorgehensweisen bei der halbschriftlichen Division

Die Bildungsstandards für das Fach Mathematik verlangen, dass die Kinder halbschriftliche Rechenstrategien verstehen und bei geeigneten Aufgaben anwenden können (vgl. KMK 2005, S.9). Dabei kommt es darauf an, dass die Besonderheiten der Zahlen ausgenutzt und verschiedene Rechenstrategien flexibel angewandt werden. Die halbschriftliche Division ist die letzte halbschriftliche Rechenstrategie, die die Kinder im Mathematikunterricht erlernen. Auf dieser Seite bekommen Sie die Möglichkeit, sich mit den verschiedenen Vorgehensweisen der Kinder bei Aufgaben zur halbschriftlichen Division auseinanderzusetzen und diese anhand von Schülerdokumenten, die im Rahmen einer Studie von Pletz & Sperling (2010) entstanden sind, zu analysieren.

1. Eine Aufgabe - viele verschiedene Lösungswege!
Wie unterschiedlich die Kinder die Eigenheiten der Zahlen ausnutzen und so zu verschiedenen Rechenwegen gelangen, können Sie am folgenden Beispiel erkennen:

Schauen Sie sich die Vorgehensweisen der Kinder an und versuchen Sie die unterschiedlichen Strategien nachzuvollziehen.

2. Hintergrundwissen zur halbschriftlichen Division

Bei sehr großen Zahlen oder bei einer wachsenden Anzahl von erforderlichen Merkprozessen stoßen die Kinder beim Kopfrechen in absehbarer Zeit an ihre Grenzen. An dieser Stelle ist es sinnvoll, Teilschritte oder Zwischenergebnisse zu notieren, wobei die jeweiligen Vorgehensweisen sowie Art und Umfang der Notizen zu Beginn sehr unterschiedlich sind. „Diese Notizen unterstützen das Kopfrechnen" (Padberg 2005, S. 159). In der Literatur wird diese Art des Rechnens als halbschriftliches Rechnen bezeichnet. Beim halbschriftlichen Rechnen ist keine bestimmte Notationsform vorgeschrieben. Vor allem sollten die Besonderheiten der Zahlen ausgenutzt und flexible Rechenstrategien eingesetzt werden. Dies ist nur möglich, da es sich um ein Rechnen mit Zahlenganzheiten handelt (vgl. Padberg & Benz 2011, S. 170).

Das halbschriftliche Rechnen bietet eine Verknüpfung des mündlichen Rechnens mit dem schriftlichen und dient dabei als Grundlage für die Einführung des schriftlichen Rechnens. Diese Notationsformen helfen, „die dem Algorithmus zugrunde liegenden Regelhaftigkeiten aufzudecken, seine Systematik wirklich mit Sinn zu füllen" (Krauthausen 1995, S. 15).

 

Wollen Sie noch mehr über die Vorzüge des halbschriftlichen Rechnens erfahren, schauen Sie auf der Seite zur halbschriftlichen Addition nach.

Bei der halbschriftlichen Division unterscheidet man zwei Hauptstrategien: das schrittweise Rechnen und die Hilfsaufgabe. Während die Strategie Schrittweise universell einsetzbar ist, bietet sich die Nutzung einer Hilfsaugabe zwar oftmals aber nicht immer an (vgl. Padberg & Benz 2011, S. 188f.). Des Weiteren gibt es die Strategien des gleichsinnigen Veränderns (vgl. Graumann 2002, S. 59f) sowie der Umkehraufgabe. Diese Strategien werden aber nur sehr selten genutzt, da sie sich für die meisten Aufgaben überhaupt nicht anbieten. Viele Kinder entdecken zudem ihre eigenen Wege, so dass Mischformen verschiedener Strategien entstehen (vgl. Krauthausen 1995, S. 15).

Die folgende Tabelle verdeutlich die einzelnen halbschriftlichen Divisionsstrategien (für eine größere, druckfähige Abbildung klicken Sie auf die Tabelle).

3. Eigene Erkundung: Divisionsaufgaben halbschriftlich lösen

Im Folgenden sehen Sie zentrale Ergebnisse zum halbschriftlichen Dividieren, die im Rahmen einer Bachelorarbeit von Pletz und Sperling (2010) ermittelt wurden. Diese Studie wurde in insgesamt sechs Klassen der 3. Schulstufe durchgeführt. Es sollte herausgefunden werden, welche halbschriftlichen Strategien Kinder zum Lösen von Divisionsaufgaben nutzen und inwiefern sie diese sinnvoll und flexibel einsetzen.

3.1. Hauptstrategien der Schüler und Schülerinnen

Betrachten Sie die folgenden Schülerdokumente und ordnen Sie sie den halbschriftlichen Divisionsstrategien zu.

Hier finden Sie eine mögliche Zuordnung.
In der Studie von Pletz & Sperling (2010) wurde mit 123 Kindern eine Standortbestimmung zur halbschriftlichen Division durchgeführt (die konkrete Standortbestimmung finden Sie hier). Es konnte festgestellt werden, dass viele der befragten Kinder auf die Strategie "Schrittweise" zurückgegriffen haben. Bei Aufgaben, die die Strategie "Hilfsaufgabe" nahelegten (z.B. 152:8 oder 57:3), haben die Kinder oftmals den Vorteil dieser Strategie erkannt und das eigentliche Ergebnis aus einer Hilfsaufgabe abgeleitet.

Darüberhinaus haben einige Kinder auch Mischformen und Umkehraufgaben zur Lösung herangezogen. Manche Kinder haben leider keine Zwischenrechnungen notiert, so dass diese als "im Kopf gelöst" verzeichnet wurden.

Wenn Sie noch weitere Details zur Auswertung dieser 123 Standortbestimmungen erfahren wollen, können Sie hier nachsehen.

3.2. Analyse individueller Fehler

Allgemein ist festzuhalten, dass es gerade bei der halbschriftlichen Division oftmals viele verschiedene und sehr individuelle Fehler auftreten. Im Rahmen der Studie von Pletz und Sperling (2010) konnten einige mehr oder weniger typische Fehler der Kinder ausgemacht werden..

 

Betrachten Sie die unten abgebildeten fehlerhaften Kinderdokumente und versuchen Sie zu verstehen, wie die Kinder zu ihren Lösungen gekommen sind.

 

Hier finden Sie eine Übersichtstabelle der zu entdeckenden Fehlertypen (nach Pletz und Sperling 2010).

 

3.3. Vergleich zweier vorgegebener Rechenstrategien

Neben der Forderung, dass Kinder eigene Rechenwege gehen dürfen, sollen sie auch Rechenwege anderer nachvollziehen können (vgl. KMK 2005, S. 8). So wurden die Kinder im Rahmen der Studie von Pletz und Sperling (2010) gebeten, die Rechnung von zwei fiktiven Kindern nachzuvollziehen und bei eigenen Rechnungen anzuwenden.

 

Schauen Sie sich die vorliegenden Aufgaben an (für eine größere Abbildung klicken Sie auf das Bild).

Welche Strategie konnten die Kinder wohl besser nachvollziehen? Warum?

Hier sehen Sie, wie erfolgreich Drittklässler diese beiden Aufgaben bearbeitet haben.

4. Weiterführende Aufgabe: Analyse des sinnvollen und flexiblen Strategieeinsatzes

Ein flexibler Einsatz von Rechenstrategien ist sinnvoll, da es häufig Aufgaben gibt, die sich mit einer bestimmten Strategie besonders leicht lösen lassen; eine andere Strategie hingegen kann sich bei dieser Aufgabe als besonders umständlich erweisen. Deshalb sollten die Kinder möglichst viele verschiedene Strategien zum Lösen von Aufgaben kennen und auch einsetzen können. Natürlich nutzen Kinder gerne die Strategie, die für sie am einfachsten anwendbar ist, um mit dieser alle Aufgaben schnell lösen zu können. Dabei stoßen sie jedoch teilweise rasch an ihre Grenzen. So ist es wichtig, dass die Kinder viele Rechenstrategien kennenlernen, damit sie bei den für die jeweilige Strategie sinnvollen Aufgaben, die einfachste Strategie anwenden und so flexibel und sinnvoll rechnen können.

Überlegen Sie zunächst selbst: Welche der oben genannten Strategien erweisen sich zur Berechnung der folgenden Aufgaben als besonders sinnvoll? Welche erweisen sich wahrscheinlich als problematisch? Warum?

 

Hier sehen Sie eine beispiehafte Analyse.

5. Verwandte Themen

Halbschriftliche Subtraktion
Halbschriftliche Addition
Grundvorstellungen zur Division
Multiplikation und Division
Addition im Tausenderbuch
Schriftliche Division

Die meisten Erwachsenen kennen aus der Schule entweder nur die schriftlichen Rechenverfahren oder nutzen im Alltag intuitiv halbschriftliche Vorgehensweisen. Als Lehrperson mit dem Fach Mathematik sollten Sie allerdings die große Vielfalt halbschriftlicher Rechenverfahren kennen und im Unterricht mit Blick auf die individuellen Vorlieben der Lernenden für die eine oder andere Strategie thematisieren. Das stellt fachfremd Unterrichtende vor einer großen Herausforderung, da sie selbst in ihrer damaligen Schulzeit nur auf die schriftlichen Rechenverfahren eingetrimmt wurden. Besuchen Sie deshalb die Homepage des Projekts PriMakom („Primarstufe Mathematik kompakt“). Dabei handelt es sich in erster Linie um eine Selbstlernplattform für Lehrerinnen und Lehrer, die Mathematik fachfremd unterrichten und sich somit fachdidaktische Kenntnisse in kompakter Form aneignen möchten. Dort erhalten Sie kompakte Hintergrundinformationen sowie unterrichtspraktische Hinweise zu den halbschriftlichen Rechenstrategien.

6. Material

Standortbestimmung zur halbschriftlichen Division

7. Literatur

© Stefanie Pletz und Sabrina Sperling für das KIRA-Team