Die Multiplikation stellt eine der vier Grundrechenarten der Mathematik dar.

Hier sollen Beispiele für die Bearbeitung von unterschiedlichen Aufgabenformaten dieser Grundrechenarten präsentiert werden. Die beschriebenen Aufgaben wurden von Kindern der zweiten und dritten Klasse bearbeitet und sind in Anlehnung an eine Standortbestimmung zur Multiplikation von Akinwunmi, Deutscher & Mosandl (2014) konzipiert.

Alle Kinder hatten im schulischen Kontext bereits Kontakt zu Multiplikationsaufgaben, sodass es sich hier um eine Standortbestimmung der Lösungsstrategien zu dieser Grundrechenart handelt.

Auf dieser Seite soll die Vielfältigkeit möglicher Herangehensweisen an Multiplikationsaufgaben präsentiert werden und den Leserinnen und Lesern die Möglichkeit geboten werden, das Operationsverständnis der Kinder zu analysieren.

Multiplikation und Würfel

Eigenaktivität

Betrachten Sie die Schülerlösungen zur Aufgabe "Zeichne ein Würfelbild, das zur Aufgabe 5 · 2 = 10 passt". Welche Kompetenzen zeigen die Kinder und wo entdecken Sie potentielle Schwierigkeiten?

Schülerlösung von Ani: Zeichnung von 5 Quadraten mit der Augenzahl 2. Daneben: „5 mal 2 = 10“.
Ani

Schülerlösung von Lin: Zeichnung von 2 Quadraten mit jeweils 5 Augen.
Lin

Schülerlösung von Tom: Quadrat mit 5 Augen und Quadrat mit 2 Augen. Dazwischen Malzeichen. Daneben Gleichzeichen: 2 Quadrate mit der Augenzahl 5.
Tom

Schülerlösung von Claas: Quadrat mit 5 Augen, Quadrat mit 5 Augen, Gleichzeichen, Quadrat mit 6 Augen, Quadrat mit 4 Augen.
Claas

Schülerlösung von Saeed: Quadrat mit 5 Augen, Malzeichen, Quadrat mit 2 Augen, Gleichzeichen, „10“.
Saeed

Schülerlösung von Emma: Zeichnung eines Würfels. Oben: 5 Augen, vorne: 2 Augen.
Emma

Schülerlösung von Talea: Zeichnung von 2 mal 5 Quadraten.
Talea

Schülerlösung von Kim: Zeichnung von 5 mal 2 Quadraten.
Kim

Schülerlösung von Dominik: Zeichnung von 5 Quadraten, Malzeichen, Zeichnung von 2 Quadraten, Gleichzeichen, Zeichnung von 10 Quadraten.
Dominik

2. Grundvorstellungen der Multiplikation

In diesem Abschnitt sollen die Grundvorstellungen der Multiplikation in kurzer und prägnanter Form vorgestellt werden. Bei der Multiplikation können drei Grundvorstellungen unterschieden werden (Padberg & Benz 2011, S. 128-131): zeitlich-sukzessive Handlungen, räumlich-simultane Anordnungen und kombinatorischer Kontext.

Zeitlich-sukzessive Handlungen

Bilderfolge von 4 Bildern: Erstens: Eine Frau hängt 3 weiße Ballons an eine Wäscheleine. Zweitens: Die Frau hängt 3 schwarze Ballons dazu. Drittens: Die Frau hängt 3 gestreifte Ballons an die Leine. Viertens: Die Frau hängt 3 gepunktete Ballons dazu und geht.

Dieses Bild soll die zeitlich-sukzessive Handlung der Multiplikation verdeutlichen. Schrittweise (sukzessiv) wird durch die Wiederholung einer Handlung (vier Mal drei Luftballons aufhängen) das Produkt erreicht. Der Zusammenhang zur schrittweisen Addition wird bei dieser Grundvorstellung sehr deutlich (Padberg & Benz 2011, S. 129). Entstandene Rechengeschichten zu diesem Bild finden Sie in Kapitel 4.

Räumlich-simultane Anordnung

Eine Schokoladentafel repräsentiert die räumlich-simultane Grundvorstellung der Multiplikation. Diese Darstellungsform ist zum Beispiel hinsichtlich der Erklärung von Rechengesetzen, wie des Kommutativgesetzes, hilfreich (Akinwunmi, Deutscher & Selter 2014, 78). Das gesamte Produkt ist an der Darstellung abzulesen, da es möglich ist, die Anzahl aufgrund der räumlichen Anordnung zu erfassen. Auch hier ist eine wiederholte Addition als Lösungsstrategie zur Errechnung des Produktes möglich.

Die beiden erstgenannten Grundvorstellungen sind eng miteinander verknüpft. So ist das Endprodukt einer zeitlich-sukzessiven Handlung eine räumlich-simultane Anordnung und umgekehrt kann eine solche Anordnung in eine zeitlich-sukzessive Handlung umgewandelt werden (Padberg & Benz 2011, S. 130).

Kombinatorischer Kontext

Einen weiteren Zugang zur Multiplikation stellt die Kombinatorik dar. Eine klassische Aufgabenstellung für diese Grundvorstellung ist zum Beispiel: „Wie viele Menüs kann ein Mensch zusammenstellen, der aus drei Vorspeisen, zwei Hauptmenüs und drei Nachspeisen wählen kann?“ Graphisch ließe sich die Aufgabe wie in der untenstehenden Abbildung lösen. Die dazugehörige Multiplikation würde 3 · 2 · 3 = 18 lauten.

Abbildung von 3 Baumdiagrammen, die jeweils 2 Stufen umfassen.

Im Gegensatz zu den anderen beiden Grundvorstellungen weist dieser Zugang diverse Nachteile auf, zum Beispiel in Hinblick auf den nicht direkt ersichtlichen Zusammenhang zur Division. Weiterhin ist er durch einen engen Anwendungsbezug und eine geringe Möglichkeit der Verwendung von Anschauungsmitteln begrenzt, weshalb Padberg und Benz (2011, S. 130) zu dem Schluss kommen, dass dieser Zugang nicht unbedingt zur Einführung in diese Grundrechenart verwendet werden sollte.

Dies bedeutet allerdings nicht, dass er als Teil der unterrichtlichen Praxis ausgeschlossen, sondern im weiteren Verlauf der Multiplikation thematisiert werden sollte.

Vorstellung von Multiplikationsaufgaben am Zahlenstrahl

Eigenaktivität

  1. Lösen Sie zunächst die Multiplikationsaufgaben am Zahlenstrahl.
  2. Versuchen Sie daraufhin, die Lösungen der Kinder nachzuvollziehen. Können Sie dabei Chancen und Schwierigkeiten feststellen, die mit dem Zahlenstrahl als Anschauungsmittel verbunden sind?

1) Schreiben Sie zu dem Zahlenstrahl-Bild eine passende Aufgabe auf.

Zahlenstrahl von 0 bis 20. Darauf wurden 7 gleichgroße Bögen eingezeichnet, die jeweils 2 Schritte umfassen.

2) Zeichnen Sie zu der Mal-Aufgabe 6 · 3 ein passendes Bild in den Zahlenstrahl:

Zahlenstrahl von 0 bis 20.

 

Schülerlösung von Clark: „7 mal 2 = 14“.
Clark

Schülerlösung von Mira: „10 mal 2 = 20.“
Mira

Schülerlösung von Annabell: „2 mal 5“.
Annabel

Schülerlösung von Jassin: „7 mal 6“.
Jassin

Schülerlösung von Luca: „7 mal 3 = 21“.
Luca

Schülerlösung von Christin: „3 mal 7 = 21“.
Christin

Schülerlösung von Julie: „8 mal 10“.
Julie

Schülerlösung von Marvin: Zahlenstrahl von 0 bis 20. Einzeichnung von 6 dreischrittigen Bögen bis zur 18.
Marvin

Schülerlösung von Lioba: Zahlenstrahl von 0 bis 20. Einzeichnung von 9 zweischrittigen Bögen.
Lioba

Schülerlösung von Tim: Zahlenstrahl von 0 bis 20. Einzeichnung von 6 ungleichen Bögen bis zur 6,5.
Tim

Schülerlösung von Dana: Zahlenstrahl von 0 bis 20. Einzeichnung von 7 ungleichen Bögen bis zur 21.
Dana

Schülerlösung von Theresa: Zahlenstrahl von 0 bis 20. Einzeichnung von 6 Bögen mit jeweils 2 Einheiten.
Theresa

 

Hier finden Sie Interpretationsvorschläge zu den einzelnen Lösungen der Kinder hinsichtlich der Fragestellungen.

Theoretisch bietet der Zahlenstrahl ein hohes Potential, die Multiplikation in einer linearen Form anschaulich darzustellen. Dies begründet sich u.a. in der Tatsache, dass der Zahlenstrahl bei vielen Schülerinnen und Schülern im schulischen Kontext bereits im Zusammenhang mit anderen Grundrechenarten thematisiert wurde.

Weiterhin lassen sich das Produkt sowie beide Faktoren am Zahlenstrahl genau ablesen, was dazu beitragen kann, mentale Bilder der Multiplikation aufzubauen. Wie die Schülerlösungen zeigen, hat sich bei vielen ein Operationsverständnis ausgebildet, allerdings ist die Darstellung am Zahlenstrahl schwierig, wenn die Muster und Strukturen noch nicht vollständig internalisiert wurden.

Dies bekräftigt die Aussage, dass die Muster und Strukturen von Anschauungsmitteln immer auch entdeckt und erlernt werden müssen (Krauthausen & Scherer 2007, S. 245).

Rechengeschichten zur Multiplikation

In diesem Kapitel werden Rechengeschichten von Kindern zur Multiplikation vorgestellt, die zum einen auf Basis einer vorgegebenen Multiplikation und zum anderen auf Grundlage eines Bildes entstanden sind.

Zunächst werden die Ergebnisse zur Rechengeschichte vorgestellt, in der die Multiplikation 6 · 5 beschrieben werden sollte, wobei den Kindern eine exemplarische Geschichte vorgegeben war. Dies ermöglichte den Schülerinnen und Schülern sich zu erinnern, was unter einer Rechengeschichte zu verstehen ist. Weiterhin wurde den Kindern die Möglichkeit geboten, eine eigene Geschichte zum Bild aus Kapitel 2.1 zu erfinden.

Eine Rechengeschichte zur Aufgabe 6 · 5

Eigenaktivität

  1. Erstellen Sie zunächst eine eigene Rechengeschichte zur Aufgabe 6 · 5.
  2. Versuchen Sie daraufhin, die Rechengeschichte sowie die jeweiligen Fragen, Rechnungen und Antworten der Kinder nachzuvollziehen. Wo entdecken Sie Schwierigkeiten beim Operationsverständnis?

Anmerkung: Die Rechengeschichten wurden der Übersicht halber abgetippt und grammatikalisch sowie orthographisch korrigiert; die erstellten Fragen, Rechnungen und Antworten sind im Original abgebildet.

Lena hat 6 Boxen. In jeder Box sind 5 Kugeln drin.

Schülerdokument: Frage: „Wie viele sind es insgesamt?“. Mal-Aufgabe: „6 mal 5 = 30“. Antwort: „Lena verpackt 30 Kugeln.“
 

Lena hat 5 Murmeln und Julia hat 6 Lollis.

Schülerdokument: Frage: „Wie viele Lollis und Murmeln sind es insgesamt?“. Mal-Aufgabe: „5 mal 6 = 30“. Antwort: „Es sind 30 insgesamt“. (Rechtschreibung angepasst)
 

Friedrich hat 30 Spiele geladen.

Schülerdokument: Frage: „Wie viele Spiele hat Friedrich geladen?“. Mal-Aufgabe: „6 mal 5 = 30“. Antwort: „Friedrich geladen 30“. (Rechtschreibung angepasst)
 

Dieter hat 6 · 5 Tore insgesamt gemacht.

Schülerdokument: Frage: „Wie viele Tore sind es?“. Mal-Aufgabe: „6 mal 5 = 30“. Antwort: „Dieter hat insgesamt 30 Tore gemacht.“ (Rechtschreibung angepasst)
 

Hier finden Sie Interpretationsvorschläge zu den einzelnen Rechengeschichten der Kinder hinsichtlich der Fragestellungen.

Eine Rechengeschichte zur zeitlich-sukzessiven Vorstellung

Eigenaktivität

  1. Entwerfen Sie eine Rechengeschichte zur untenstehenden Abbildung.
  2. Versuchen Sie, daraufhin die Rechengeschichte sowie die jeweiligen Fragen, Rechnungen und Antworten der Kinder nachzuvollziehen. Wo entdecken Sie Schwierigkeiten beim Operationsverständnis?

Bilderfolge von 4 Bildern: Erstens: Eine Frau hängt 3 weiße Ballons an eine Wäscheleine. Zweitens: Die Frau hängt 3 schwarze Ballons dazu. Drittens: Die Frau hängt 3 gestreifte Ballons an die Leine. Viertens: Die Frau hängt 3 gepunktete Ballons dazu und geht.

Frau Müller will an ihre Leine Ballons hängen. Sie kauft 4 Bündel an der je drei Ballons befestigt sind.

Schülerdokument: Frage: „Wie viele Ballons hängen insgesamt an der Leine.“ Mal-Aufgabe: „4 mal 3 = 12“. Antwort: „Es hängen insgesamt 12 Ballons an der Leine.“ (Rechtschreibung angepasst)

Lisa hängt Luftballons auf.

Schülerdokument: Frage: „Wie viele Luftballons sind es?“ Mal-Aufgabe: „3 mal 4 = 12“. Antwort: „Es sind 12 Luftballons.“

Das Mädchen Trulla hängt 6 mal 3 Ballons auf.

Schülerdokument: Frage: „Wie viele Ballons hängt Trulla auf?“ Mal-Aufgabe: „6 mal 3 = 18“. Antwort: „Trulla hängt 18 Ballons auf!“. (Rechtschreibung angepasst)

Finja hängt bunte Luftballons auf. Erst 3 dann wieder 3 dann wieder 3 dann wieder 3.

Schülerdokument: Frage: „Wie viele Luftballons hat sie aufgehangen ?“. Mal-Aufgabe: „4 mal 3 = 12“. Antwort: „Es sind 12 Luftballons.“ (Rechtschreibung angepasst)

Lisa macht eine Party. Sie hängt Ballons auf. Und es sind immer drei gleiche Ballons.

Schülerdokument: Frage: „Wie viele Ballons sind es?“ Mal-Aufgabe: „4 mal 3 = 12“. Antwort: „Es sind 12 Luftballons“.

Leonie macht eine Party und hat 4 · 3 Ballons aufgehängt.

Schülerdokument: Frage: „Wie viele Ballons sind es?“ Mal-Aufgabe: „4 mal 3 = 12“. Antwort: „Es sind 12 Luftballons“.

Anna hängt die Luftballons auf die Leine. Sie hängt zuerst 3 auf und dann noch mal 3 und dann das noch mal zweimal.

Schülerdokument: Frage: „4 mal 3“. Mal-Aufgabe: „4 mal 3“. Antwort: „24“.

Jana hat 3 Kisten. In jede Kiste passen 10 Fotos.

Schülerdokument: Frage: „Wie viele Fotos packt sie ein?“. Mal-Aufgabe: „30 Fotos“. Antwort: „Sie packt 30 Fotos ein.“

Mia hängt jeden Tag 3 Ballons auf, manchmal ist sie sehr erschöpft.

Schülerdokument: Frage: „Wie viele Ballons hängt sie auf?“. Mal-Aufgabe: „3 mal 12 =“. Antwort: „Sie hat … Ballons aufgehangen.“ (Rechtschreibung angepasst)

Hier finden Sie Interpretationsvorschläge zu den einzelnen Rechengeschichten der Kinder hinsichtlich der Fragestellungen.

Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division

Eigenaktivität

Nehmen Sie sich kurz Zeit und denken Sie darüber nach, welche Multiplikations- und Divisionsaufgaben Sie im folgenden Punktefeld sehen.

Abbildung von 4 siebener Punktestreifen.

Hier finden Sie Interpretationsvorschläge.

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Verwendetes Material

Die verwendete Standortbestimmung wurde in Anlehnung an Akinwunmi, Deutscher & Mosandl (2014) erstellt. Auszüge der Originalmaterialien sind unter folgendem Link unter den Materialien zum Förderbaustein N4 – Multiplikation und Division verstehen zu finden: Mathe sicher können: Material – Diagnose- und Fördermaterial Sek 1.

Literatur

Diese Seite wurde erstellt von Beatrice Dürdodt für das Projekt Kira.