Strategieanalyse des Nim-Spiels

1. Warum hat der erste Spieler eine sichere Gewinnstrategie? Wie muss er spielen?

Der erste Spieler muss damit beginnen, nur ein Plättchen zu legen. Egal was dann der zweite Spieler macht, kann der erste Spieler es schaffen, die 4 als sicheres Gewinnfeld zu bekommen. Das liegt daran, dass man den Gegenspieler sicher in Dreierschritten steuern kann: legt der Gegenspieler ein Plättchen, lege ich zwei; legt er zwei Plättchen, lege ich eins. Die Dreierschritte kann man sicher steuern! Entsprechend kann der erste Spieler sicher die 7 erreichen und letztlich die 10. Demnach muss der erste Spieler mit genau einem Plättchen anfangen (also die 1 belegen) und kann somit die 4, 7 und dann die 10 erreichen. Was haben alle diese Felder gemeinsam? Es sind genau die Zahlen, die bei der Division durch 3 einen Rest von 1 lassen. Sie gehören alle zur gleichen Restklasse!

2. Was wäre, wenn man ein, zwei oder drei Plättchen legen dürfte? Wer gewinnt dann?

Bei bis zu 3 legbaren Plättchen, liegen die Gewinnfelder immer 4 Einheiten auseinander. Das liegt daran, dass ich meinen Mitspieler immer sicher in Viererschritten steuern kann: legt er ein Plättchen, lege ich drei; legt er zwei Plättchen, lege ich auch zwei; legt er drei Plättchen, lege ich einen. Die Viererschritte sind also ein sicheres Ereignis. Damit liegen die Gewinnfelder bei 2, 6 und 10. Also hat auch hier der erste Spieler eine sichere Gewinnstrategie. Er muss mit genau zwei Plättchen anfangen, dann die 6 treffen und bekommt dann die 10. Auch hier gehören die Gewinnfelder alle zur gleichen Restklasse: Sie lassen alle bei Divsion durch 4 den Rest 2.

3. Wie lautet die Gewinnstrategie, wenn derjenige, der das letzte Feld belegt, verliert?

Um hier zu gewinnen, muss man die 9 bekommen. Spielt man nach der Regel, dass bis zu zwei Plättchen gelegt werden dürfen, entwickeln sich die Gewinnfelder erneut in Dreierschritten: 9, 6 und letztlich die 3. Damit hat der zweite Spieler eine sichere Gewinnstrategie. Er muss, nachdem der erste Spieler begonnen hat, auf jeden Fall die 3 belegen. Dann bekommt er auch die 6 und letztlich die 9. Hier sind alle Felder, die bei der Division durch 3 den Rest 0 lassen sichere Gewinnfelder.

Versuchen Sie diese Überlegung auf die Spielregel, dass bis zu drei Plättchen gelegt werden dürfen, zu übertragen.

4. Was wäre, wenn der Spielplan bis 12 (20, 1001) ginge? Beantworten Sie die Fragen 1 bis 3 für diesen Spielplan.

Mit den bisherigen Analysen und Erläuterungen sollten Sie es schaffen, diese Frage für sich allein zu beantworten!