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Knobelaufgaben am Beispiel Pferde und Fliegen

Denkt man beim Thema Sachaufgaben an die eigene Schulzeit zurück, so erinnert man sich wohl hauptsächlich an die Art von Textaufgaben, bei denen es lediglich darum ging, Frage, Rechnung und Antwort zu notieren. Dass Sachaufgaben jedoch keinem Frage-Rechnung-Antwort-Schema unterliegen müssen, sondern vielfältige Lösungswege und Kompetenzen der Kinder herausfordern und fördern können, soll auf dieser Seite am Beispiel der Knobelaufgabe „Pferde und Fliegen" (vgl. Wittmann & Müller 2005, S. 68) aufgezeigt werden.v:m1-6

1. „Und ein Pferd hat 4 Beine und eine Fliege 6..."

(Abb. entnommen aus: Das Zahlenbuch 4, 2005, S.68)

Hannah hat diese Aufgabe folgendermaßen gelöst:

(Für eine Großansicht bitte auf das Kinderdokument klicken)

 

An Hannahs Lösung wird ersichtlich, dass ein reines Frage-Rechnung-Antwort Schema für das Lösen dieser Aufgabe nicht ausreicht.

Wie ist Hannah an die Aufgabe herangegangen?

2. Hintergrundwissen zum Rechnen auf eigenen Wegen bei Textaufgaben

Im Sinne der Begriffsbildung ist der Einsatz von Text- und Sachaufgaben unverzichtbar. Häufig wird das Sachrechnen aber auf das Abarbeiten eines „Frage-Rechnung-Antwort-Schemas" reduziert, nur das richtige Ergebnis ist von Interesse, mit der Folge, dass die Kinder nicht selten den Einsatz ihres gesunden Menschenverstands beim Sachrechnen vernachlässigen. Deshalb bedarf es einen anderen Umgangs mit Text- und Sachaufgaben.

Weitere Informationen zu einem veränderten Umgang mit Text- und Sachaufgaben erhalten Sie auf den folgenden Seiten:

Kapitänsaufgaben
Zeitungsmathematik

Die oben dargestellte „Pferde und Fliegen" - Aufgabe aus dem Schulbuch „Das Zahlenbuch 4" (Müller & Wittmann 2005) bietet die Möglichkeit, sich beim Sachrechnen vom „Frage-Rechnung-Antwort-Schema" zu lösen, da hier nicht die Möglichkeit besteht, die Lösung einfach durch das „beliebige" Zusammenrechnen der angegebenen Zahlen zu bestimmen.  Vielmehr handelt es sich (für die meisten Kinder) um eine typische Knobelaufgabe, da die Lösung nicht von vorneherein auf der Hand liegt. Mathematisch handelt es sich hierbei um das Lösen eines Gleichungssystems mit zwei Unbekannten, was in der Regel nicht zum Standardrepertoire von Grundschulkindern zu zählen ist, aber dennoch ohne formelle Algebra-Kenntnisse lösbar ist. Dass die zwei Tierarten nicht die gleiche Anzahl an Beinen haben, erschwert das Lösen der Aufgabe.

Die Aufgabe ermöglicht es, dass die Kinder beim Lösen viele unterschiedliche Wege - auch Irrwege und Umwege - gehen können. Doch auch oder gerade solche Umwege helfen den Kindern häufig das Problem in seiner Tiefe zu durchdringen. Es lohnt sich daher, diese Aufgabe nicht nur einfach zu lösen und die Ergebnisse zu vergleichen, sondern auch über verschiedene Vorgehensweisen zu diskutieren. Dies könnte z.B. hervorragend in Rahmen von Mathekonferenzen passieren (vgl. Sundermann und Selter 1995, Götze 2010). Nach der individuellen Bearbeitung der Aufgabe durch die Kinder und der Darstellung des eigenen Lösungsweges, treffen sich die Kinder in Kleingruppen zu einer Mathekonferenz. Dabei stellt jeder reihum vor, was er sich überlegt hat und wie sein Lösungsweg lautet. Die zuhörenden Kinder müssen bei Unklarheiten Rückfragen stellen. Alle gefundenen Lösungswege werden dann auf einem Plakat gesammelt und vor der ganzen Klasse vorgestellt. Dies hat den Vorteil, dass sich jedes Kind zunächst mit der Aufgabe individuell auseinandersetzen muss, aber auch, dass jeder Lösungsweg die nötige Aufmerksamkeit und somit Wertschätzung erhält.

In...

Rasch, R. (2006). 42 Denk- und Sachaufgaben. Wie Kinder mathematische Aufgaben lösen und
diskutieren
. Seelze: Kallmeyer Verlag, S.92f.

Götze, D. (2010). Mathekonferenzen. Kommunikation unter Kindern anregen, um Lösungswege anderer zu verstehen. In: Grundschulunterricht. H. 1, S. 22-26.

...finden Sie Anregungen, wie eine solche Mathekonferenz ablaufen könnte.

Auch auf der Website unseres Partnerprojekts PIK AS finden Sie in Haus 8 'Guter Unterricht' konkrete Anregungen für die unterrichtliche Umsetzung von 'Mathekonferenzen'.

Man erkennt deutlich, dass durch einen solchen unterrichtlichen Einsatz dieser Aufgabe dann auch „ganz nebenbei" diverse prozessbezogene Kompetenzen angesprochen werden (vgl. MSW NRW 2008; KMK 2005). Die Kinder üben sich im ...

  • Problemlösen / kreativ sein, da es sich hierbei um keine Routineaufgabe handelt und Lösungsstrategien entwickelt und genutzt werden müssen,
  • Modellieren, da ein (mehr oder weniger) realer Sachkontext durch mathematische Berechnungen erfasst wird,
  • Darstellen, wenn sie ihre Lösungswege oder die der Mitschüler dokumentieren, um sie anderen zugänglich zu machen,
  • Kommunizieren, wenn sie sich (z.B. in Mathekonferenzen) über ihre verschiedenen Herangehensweisen austauschen und erklären, warum (die eigenen oder fremden) Lösungswege richtig oder falsch sind.

3. Viele Wege führen zum Ziel

Bevor einige Lösungswege der Kinder vorgestellt werden, ist es sinnvoll, sich eigenständig mit der Sachsituation auseinanderzusetzen. Nur so können Sie die Denkweisen der Kinder verstehen.

Aus der mathematischen Perspektive handelt es sich hier um ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, wobei x und y ganzzahlige Lösungen haben. Schließlich existieren keine 0,5 Pferde oder Fliegen (Müller & Wittmann 2007, S. 125):

I. Gleichung: 6 · x + 4 · y = 72

II. Gleichung: x + y = 15

  • Was sagen die beiden obigen Gleichungen aus?
  • Wie berechnet man aus den Gleichungen die Anzahl der Pferde und Fliegen?
  • Wie können Sie die Aufgabe auch ohne das Aufstellen von Gleichungen lösen?

Im Zahlenbuch der 4. Klasse werden den Kindern folgende Lösungswege und -strategien zu der Aufgabe vorgestellt:

(Abb. entnommen aus: Das Zahlenbuch 4, 2005, S.68)

Versuchen Sie nachzuvollziehen, wie die Kinder gedacht haben.
Wie würden Sie diese im Schulbuch abgedruckten Dokumente im Unterricht einsetzen?

Hier finden Sie Vorschläge, wie man die Kinderlösungen aus dem Schulbuch im Unterricht gewinnbringend einsetzen kann.

4. Analyse von Kinderdokumenten

Auch wir haben die „Pferde und Fliegen" -Aufgabe einigen Viertklässlern gestellt. Anhand ihrer Lösungswege lässt sich gut erkennen, wie unterschiedlich sie dabei vorgegangen sind.

Lösungsweg Jan
 

Lösungsweg Svenja
 

Lösungsweg Luisa
 

Klicken Sie auf das jeweilige Schülerdokument, um zu einer Großansicht und einer exemplarischen Analyse zu gelangen.

Nun sind Sie dran!

Analysieren Sie die Lösungswege von Clemens, Julia und Lea und orientieren Sie sich dabei an folgenden Leitfragen:

  • Wie ist das Kind an die Aufgabe herangegangen (z.B. durch Ausprobieren, systematisch, Veranschaulichung der Situation, ...)?
  • Welche Wege und/oder Irrwege ist das Kind dabei gegangen?
  • Wenn das Kind zu keiner oder einer fehlerhaften Lösung gekommen ist: Welche Impulse würden Sie dem Kind geben?

(Klicken Sie auf das jeweilige Schülerdokument für eine Großansicht)

5. Verwandte Themen

Kapitänsaufgaben
Zeitungsmathematik
Eigenproduktionen
Prozessbezogene Kompetenzen - eine Einführung

Auf der Website unseres Partnerprojekts PIK AS finden Sie in Haus 7 weitere Anregungen für 'Gute Aufgaben'.

6. Zitierte Literatur

Götze, D. (2010). Mathekonferenzen. Kommunikation unter Kindern anregen, um Lösungswege anderer zu verstehen. In: Grundschulunterricht. H. 1, S. 22-26.

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW (Hrsg.) (2008). Lehrplan Mathematik für die Grundschulen des Landes NRW. Verfügbar unter: http://www.schulentwicklung.nrw.de/lehrplaene/upload/lehrplaene_download/grundschule/grs_faecher.pdf (Abruf am: 13.07.2011)

Sundermann, B. & Selter, Ch. (1995). Halbschriftliches Rechnen auf eigenen Wegen. In: G. N.  Müller & E. Ch. Wittmann: Mit Kindern rechnen. Frankfurt a.M.: Arbeitskreis Grundschule, S. 165-178.

Rasch, R. (2006). 42 Denk- und Sachaufgaben. Wie Kinder mathematische Aufgaben lösen und diskutieren. Seelze: Kallmeyer Verlag.

Wittmann, E. Ch. & Müller, G. N. (2005). Das Zahlenbuch 4. Leipzig: Klett Verlag, S. 68.

Wittmann, E. Ch. & Müller, G. N. (2007). Das Zahlenbuch 4 - Lehrerband. Leipzig: Klett Verlag, S. 125.

 

7. Weiterführende Literatur

Fuchs, M. & Käpnick, F. (Hrsg.) (2004). Mathe für kleine Asse. Empfehlungen zur Förderung mathematisch interessierter und begabter Kinder im 1. und 2. Schuljahr. Berlin: Volk und Wissen & Cornelsen.

Käpnick, F. (2001). Mathe für kleine Asse. Empfehlungen zur Förderung mathematisch interessierter und begabter Kinder im 3. und 4. Schuljahr.  Berlin: Volk und Wissen & Cornelsen.