Denkt man beim Thema Sachaufgaben an die eigene Schulzeit zurück, so erinnert man sich wohl hauptsächlich an die Art von Textaufgaben, bei denen es lediglich darum ging, Frage, Rechnung und Antwort zu notieren.

Dass Sachaufgaben jedoch keinem Frage-Rechnung-Antwort-Schema unterliegen müssen, sondern vielfältige Lösungswege und Kompetenzen der Kinder herausfordern und fördern können, soll auf dieser Seite am Beispiel der Knobelaufgabe „Pferde und Fliegen" (vgl. Wittmann & Müller 2005, S. 68) aufgezeigt werden.

"Und ein Pferd hat 4 Beine und eine Fliege 6..."

Aufgabenausschnitt aus dem Zahlenbuch: Foto eines Pferdestalls, in dem 2 Pferde stehen. Rechts daneben Foto einer Fliege. Aufgabenstellung: „In einem Stall werden Pferde und Fliegen gezählt. Es sind 15 Tiere. Zusammen haben sie 72 Beine. Wie viele Pferde und wie viele Fliegen sind es?“
(Das Zahlenbuch 4 2005, S. 68)

Eigenaktivität

Hannah hat diese Aufgabe folgendermaßen gelöst:

Schülerdokument von Hannah: „6 mal 6 = 36. 4 mal 9 = 36. Ich hab mir erst überlegt, welche 2 Geteiltaufgaben in 72 stecken. Ich hab es erst versucht mit 42 mal 6 = 7 und 30 geteilt durch 5 = 6, 7 mal 6 = 42 und 5 mal 6 = 30. Aber das ging nicht weil ein Pferd hat 4 Beine und da steht 30 geteilt durch 5 = 6 und dann hab ich es mit der Hälfte versucht. Das war dann 36 und 36 geteilt durch 4 = 9, 36 geteilt durch 6 = 6. Und ein Pferd hat 4 Beine und eine Fliege 6. Und so bin ich darauf gekommen.“ (Rechtschreibung angepasst)

An Hannahs Lösung wird ersichtlich, dass ein reines Frage-Rechnung-Antwort Schema für das Lösen dieser Aufgabe nicht ausreicht.

Wie ist Hannah an die Aufgabe herangegangen?

Hintergrundwissen zum Rechnen auf eigenen Wegen bei Textaufgaben

Im Sinne der Begriffsbildung ist der Einsatz von Text- und Sachaufgaben unverzichtbar. Häufig wird das Sachrechnen aber auf das Abarbeiten eines „Frage-Rechnung-Antwort-Schemas" reduziert. Nur das richtige Ergebnis ist von Interesse - mit der Folge, dass die Kinder nicht selten den Einsatz ihres gesunden Menschenverstands beim Sachrechnen vernachlässigen. Deshalb bedarf es eines anderen Umgangs mit Text- und Sachaufgaben.

Die oben dargestellte „Pferde und Fliegen" - Aufgabe aus dem Schulbuch „Das Zahlenbuch 4" (Müller & Wittmann 2005) bietet die Möglichkeit, sich beim Sachrechnen vom „Frage-Rechnung-Antwort-Schema" zu lösen, da hier nicht die Möglichkeit besteht, die Lösung einfach durch das „beliebige" Zusammenrechnen der angegebenen Zahlen zu bestimmen.

Vielmehr handelt es sich (für die meisten Kinder) um eine typische Knobelaufgabe, da die Lösung nicht von vornherein auf der Hand liegt. Mathematisch handelt es sich hierbei um das Lösen eines Gleichungssystems mit zwei Unbekannten, was in der Regel nicht zum Standardrepertoire von Grundschulkindern zu zählen ist, aber dennoch ohne formelle Algebra-Kenntnisse lösbar ist. Dass die zwei Tierarten nicht die gleiche Anzahl an Beinen haben, erschwert das Lösen der Aufgabe.

Die Aufgabe ermöglicht es, dass die Kinder beim Lösen viele unterschiedliche Wege - auch Irrwege und Umwege - gehen können. Doch auch oder gerade solche Umwege helfen den Kindern häufig, das Problem in seiner Tiefe zu durchdringen. Es lohnt sich daher, diese Aufgabe nicht nur einfach zu lösen und die Ergebnisse zu vergleichen, sondern auch über verschiedene Vorgehensweisen zu diskutieren. Dies könnte z.B. hervorragend im Rahmen von Mathekonferenzen passieren (vgl. Sundermann und Selter 1995, Götze 2010).

Nach der individuellen Bearbeitung der Aufgabe durch die Kinder und der Darstellung des eigenen Lösungsweges, treffen sich die Kinder in Kleingruppen zu einer Mathekonferenz. Dabei stellt jeder reihum vor, was er sich überlegt hat und wie sein Lösungsweg lautet. Die zuhörenden Kinder müssen bei Unklarheiten Rückfragen stellen.

Alle gefundenen Lösungswege werden dann auf einem Plakat gesammelt und vor der ganzen Klasse vorgestellt. Dies hat den Vorteil, dass sich jedes Kind zunächst mit der Aufgabe individuell auseinandersetzen muss, aber auch, dass jeder Lösungsweg die nötige Aufmerksamkeit und somit Wertschätzung erhält.

Man erkennt deutlich, dass durch einen solchen unterrichtlichen Einsatz dieser Aufgabe dann auch „ganz nebenbei" diverse prozessbezogene Kompetenzen angesprochen werden (vgl. MSW NRW 2008; KMK 2005). Die Kinder üben sich im ...

  • Problemlösen/kreativ sein, da es sich hierbei um keine Routineaufgabe handelt und Lösungsstrategien entwickelt und genutzt werden müssen
  • Modellieren, da ein (mehr oder weniger) realer Sachkontext durch mathematische Berechnungen erfasst wird
  • Darstellen, wenn sie ihre Lösungswege oder die der Mitschüler dokumentieren, um sie anderen zugänglich zu machen
  • Kommunizieren, wenn sie sich (z.B. in Mathekonferenzen) über ihre verschiedenen Herangehensweisen austauschen und erklären, warum (die eigenen oder fremden) Lösungswege richtig oder falsch sind.

Viele Wege führen zum Ziel

Bevor einige Lösungswege der Kinder vorgestellt werden, ist es sinnvoll, sich eigenständig mit der Sachsituation auseinanderzusetzen. Nur so können Sie die Denkweisen der Kinder verstehen.

Aus der mathematischen Perspektive handelt es sich hier um ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, wobei x und y ganzzahlige Lösungen haben. Schließlich existieren keine 0,5 Pferde oder Fliegen (Müller & Wittmann 2007, S. 125):

I. Gleichung: 6 · x + 4 · y = 72

II. Gleichung: x + y = 15

Eigenaktivität

  • Was sagen die beiden obigen Gleichungen aus?
  • Wie berechnet man aus den Gleichungen die Anzahl der Pferde und Fliegen?
  • Wie können Sie die Aufgabe auch ohne das Aufstellen von Gleichungen lösen?

Eigenaktivität

Im Zahlenbuch der 4. Klasse werden den Kindern folgende Lösungswege und -strategien zu der Aufgabe vorgestellt:

Lösungsweg von Dominik: „Überlegung: 8 Fliegen haben 48 Beine. 7 Pferde haben 28 Beine. Gleich 76 Beine. 7 Fliegen haben 42 Beine. 8 Pferde haben 32 Beine. Gleich 74 Beine. 6 Fliegen haben 36 Beine. 9 Pferde haben 36 Beine. Gleich 72 Beine. Antwort: Es sind 6 Fliegen und 9 Pferde.“

Lösungsweg: „Maria rechnet und erklärt“. Oben: Tabelle mit 8 Spalten und 2 Zeilen. Obere Zeile: „6, plus 6, plus 6, plus 6, plus 6, plus 6, plus 4, plus“. Untere Zeile: „4, plus 4, plus 4, plus 4, plus 4, plus 4, plus 4, plus 4“. Daneben: „= 72“. „Antwort: 6 Fliegen, 9 Pferde.“ Darunter: „Zuerst hatte ich 7 Fliegen und 8 Pferde. Da waren es 74 Beine. Das waren 2 zu viel. Deshalb habe ich aus einer Fliege ein Pferd gemacht. Jetzt waren es 2 Beine weniger.“

Lösungsweg: „Wolfgang zeichnet und erklärt“. Zeichnung von 9 Kreisen mit 4 Beinen und 6 Kreisen mit 6 Beinen. „Antwort: 9 Pferde, 6 Fliegen“. Darunter: „Es sind zusammen 15 Tiere. Also habe ich 15 Kreise gemalt. Jedes Tier hat mindestens 4 Beine. Dann bleiben noch 12 Beine übrig. Die habe ich noch an 6 Tiere verteilt. Diese Tiere sind dann die Fliegen. Also sind es 9 Pferde und 6 Fliegen.“

Lösungsweg von Anna: „Überlegung:“. Darunter Tabelle mit „Fliegen“ und „Pferden“ und darunter jeweils 6 Strichlisten mit jeweils 6 Strichen und 2 durchgestrichene Strichlisten mit jeweils 6 Strichen sowie 9 Strichlisten mit jeweils 4 Strichen. „Antwort: Im Stall sind 6 Fliegen und 9 Pferde.“

(Das Zahlenbuch 4 2005, S. 68)

Versuchen Sie nachzuvollziehen, wie die Kinder gedacht haben.
Wie würden Sie diese im Schulbuch abgedruckten Dokumente im Unterricht einsetzen? 

Hier finden Sie Vorschläge, wie man die Kinderlösungen aus dem Schulbuch im Unterricht gewinnbringend einsetzen kann:

Einsatz der Buchseite

Analyse von Kinderdokumenten

Auch wir haben die „Pferde und Fliegen"-Aufgabe einigen Viertklässlern gestellt. Anhand ihrer Lösungswege lässt sich gut erkennen, wie unterschiedlich sie dabei vorgegangen sind.

Schülerdokument von Jan: Oberer Teil durchgestrichen. Darunter: „Pferd: 72 geteilt durch 4 = 12. Fliegen: 72 geteilt durch 6 = 12. Ich habe 72 geteilt durch 4 gerechnet weil 72 Beine und 1 geteilt durch Tiere. Man muss 72 da hin schreiben weil es 72 Beine sind. Dann 72 geteilt durch 6 = 8 beide Beine zusammen so habe ich gerechnet es sind 8 Fliegen und 12 Pferde.“ (Rechtschreibung angepasst)
Lösungsweg Jan

Schülerdokument von Svenja: „4 plus 4 plus 4 plus 4 plus 4 plus 4 plus 4 plus 4 plus 6 plus 6 plus 6 plus 6 plus 6 plus 6 plus 4“. Darunter: „4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 39, 44, 50, 56, 62, 68, 72“. Darunter: „Es sind 9 Pferde, 6 Fliegen. 9 plus 6 = 15“.
Lösungsweg Svenja

Schülerdokument von Luisa: Zeichnung einer Fliege: „6“. Zeichnung eines Pferdes: „4“. Rechnung: „6 mal 8 = 32. 6 mal 7 = 42. 9 mal 6 = 54. 5 mal 4 = 20. 11 mal 4 = 44. 4 mal 6 = 24. 11 mal 6 = 66. 4 mal 4 = 16. 10 mal 4 = 40. 5 mal 6 = 30. 13 mal 4 = 52. 2 mal 6 = 12. 1 mal 6 = 6. 14 mal 4 = 56.“
Lösungsweg Luisa

Klicken Sie auf das jeweilige Schülerdokument, um zu einer Großansicht und einer exemplarischen Analyse zu gelangen.

Eigenaktivität

Nun sind Sie dran!

Analysieren Sie die Lösungswege von Clemens, Julia und Lea und orientieren Sie sich dabei an folgenden Leitfragen:

  • Wie ist das Kind an die Aufgabe herangegangen (z.B. durch Ausprobieren, systematisch, Veranschaulichung der Situation, ...)?
  • Welche Wege und/oder Irrwege ist das Kind dabei gegangen?
  • Wenn das Kind zu keiner oder einer fehlerhaften Lösung gekommen ist: Welche Impulse würden Sie dem Kind geben?

Lösungsweg von Clemens: „72 geteilt durch 6 = _. 14 mal 6 = 84. 10 mal 6 = 60. 5 mal 4 = _. 9 mal 6 = 54. 6 mal 4 = 24. 7 mal 4 = 28. 8 mal 6 = 48. 1: 6 mal 6 = 36. 9 mal 4 = 36. 36 plus 36 = 72. Man muss 36 plus 36 rechnen.“  Lösungsweg von Julia: „15 Tiere zusammen 72 Beine 8 Pferde 32 Beine 7 Fliegen haben 6 plus 6 plus 6 plus 6 plus 6 plus 6 plus 6 = 42.“ Daneben Strichliste mit 8 mal 4 Strichen.  Lösungsweg von Lea: „Als erstes habe ich mir überlegt: 6 mal 4 = 20. 6 mal 10 = 60. 6 mal 2 = 12. 6 mal 12 = 72. Dann habe ich 72 rausbekommen. Also sind es 12 Pferdebeine, 6 Fliegenbeine! Mehr konnte ich nicht. Von Lea.“

(Klicken Sie auf die Abbildung für eine Großansicht)

Verwandte Themen

Kompetenzen im Mathematikunterricht

Weitere Informationen zu einem veränderten Umgang mit Text- und Sachaufgaben erhalten Sie auf den folgenden Seiten:

Kapitänsaufgaben
Zeitungsmathematik

In...

Rasch, R. (2006). 42 Denk- und Sachaufgaben. Wie Kinder mathematische Aufgaben lösen und diskutieren. Seelze: Kallmeyer Verlag.

Götze, D. (2010). Mathekonferenzen. Kommunikation unter Kindern anregen, um Lösungswege anderer zu verstehen. Grundschulunterricht, (1), 22-26.

...finden Sie Anregungen, wie eine Mathekonferenz ablaufen könnte.

Auf der Website unseres Partnerprojekts PIK AS finden Sie im PIKAS: Fortbildungsmodul: 'Gute Aufgaben' weitere Anregungen für Gute Aufgaben.

Außerdem finden Sie im PIKAS: Fortbildungsmodul: 'Guter Unterricht' konkrete Anregungen für die unterrichtliche Umsetzung von Mathekonferenzen (PIKAS: Fortbildungsmodul: Guter Unterricht: Kooperation und Kommunikation fördern).

Literatur