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Denkwege erheben mit Hilfe informativer Aufgaben

Um mehr über die mathematischen Denkwege von Kindern zu erfahren, bedarf es besonderer Methoden wie z.B. Standortbestimmungen oder Diagnostischer Gespräche. Mit der Methode allein ist es aber noch nicht getan. Der Einsatz solcher diagnostischer Methoden erfordert immer auch eine sorgfältige Aufgabenauswahl. Rein produktorientierte Aufgaben, bei denen es nur um 'richtig' oder 'falsch' geht, ermöglichen dem Lehrer nur selten Einblicke in die Denkwege der Kinder, und es ist kaum möglich bei Fehllösungen festzustellen, ob diese "nur" auf mangelnde Konzentration oder auf Fehlvorstellungen beruhen. Gut eignen sich hingegen sogenannte "Informative Aufgaben", bei denen man, wie es der Name schon sagt, mehr Informationen über die Denkwege der Kinder erhält. Die Eigenschaften solcher Aufgaben sowie Beispiele sollen auf dieser Seite vorgestellt werden.

1. Informativ oder nicht?

Inwiefern handelt es sich bei dieser Aufgabe um eine informative Aufgabe?

Was erfahren Sie anhand des Dokuments über Thomas Kompetenzen im Bereich der schriftlichen Subtraktion?

Thomas' Lösung der Aufgabe

2. Hintergrundwissen zu informativen Aufgaben

"Durch informative Aufgaben kann man mehr über die Lösungswege der Kinder erfahren als durch herkömmliche Aufgaben. Auf dieser Grundlage können weitere Fördermaßnahmen auf individuellem Niveau eingeleitet werden. Daher sollte in erkennbarer Nähe zu den Aufgabenstellungen Platz für Nebenrechnungen oder Erläuterungen zur Verfügung stehen oder explizit die Aufforderung erfolgen, das eigene Vorgehen zu erläutern. Eine überlegte Aufgabenauswahl (etwa bezüglich des Schwierigkeitsgrades der Teilaufgaben, des Grades der Ähnlichkeit bzw. des Zusammenhangs oder der verwendeten Kontexte) kann darüber hinaus den Informationsgehalt von Aufgaben steigern" (Sundermann, B. & Selter, Ch. 2006, S. 79).

Idealtypisch gibt es, wie im obigen Zitat angedeutet, vier Formen informativer Aufgaben, die im Folgenden kurz dargestellt werden sollen.

 

Aufgabenvariationen

Von Fall zu Fall kann es sein, dass ein Kind eine Aufgabe lediglich in bestimmten Zusammenhängen beherrscht bzw. in manchen Kontexten etwas leisten kann, was es in anderen nicht zeigt. Das heißt,  dass die Veränderung der Darstellung einer Aufgabe zu verschiedenen Vorgehensweisen führen kann. Konkret bedeutet das hier: Wie löst das Kind die Aufgabe 12:3 einmal in dem Kontext einer Bild-Sach-Aufgabe und einmal rein symbolisch?

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(Abb. links entnommen aus: Hengartner & Röthlisberger 1999, S. 40)

Nebenrechnungen

Nebenrechnungen geben zusätzlich zu den Ergebnissen Einsicht in die Lösungswege und Fähigkeiten der Kinder. So wird im Beispiel deutlich, dass Sofia im Gegensatz zu Paul zwar alles richtig gerechnet hat, sie scheint aber weniger "Zahlensinn" zu haben als er: Sie subtrahiert jede Aufgabe erneut schriftlich, während Paul die Zusammenhänge zwischen den Aufgaben nutzt, um die Ergebnisse zu ermitteln. Dies wird erst durch die Nebenrechnungen der Kinder deutlich.

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(Abb. entnommen aus: Sundermann & Selter 2006, S. 86f.)

Vorgehensweisen darstellen

Wenn man Kinder dazu auffordert, ihre Vorgehensweisen darzustellen, eröffnen sich häufig interessante Einblicke in ihre Denkwege. So wird im folgenden Dokument erst durch die Begründung des Kindes deutlich, dass es die Zusammenhänge zwischen den Aufgaben entdeckt und ausnutzt, was nicht selbstverständlich ist - auch wenn man dabei berücksichtigen muss, dass nachträgliche Erklärung und tatsächliches Vorgehen nicht immer übereinstimmen.

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(Abb. entnommen aus: Sundermann & Selter 2006, S. 88)

 

Zusammenhängende Aufgaben

Will man die Fehlermuster von Schülern aufdecken und verstehen, eignen sich zusammenhängende Aufgaben besonders gut. Dazu werden anhand bestimmter Kriterien systematisch Aufgaben zusammengestellt. Mögliche Kriterien sind beispielsweise aufgabentypische Schwierigkeitsmerkmale (vgl. dazu Abschnitt 3) oder die Verwandtschaft von Aufgaben (z.B. 5·90, 90·5, 450:5, 4500:50 usw.).v:gimd

Sie werden im Einstiegsbeispiel festgestellt haben, dass man durch diese einzelne Schülerlösung kaum eine Aussage über Thomas Kompetenzen hinsichtlich der schriftlichen Subtraktion machen kann. So vermittelt das Dokument zunächst einmal den Eindruck, dass Thomas die schriftliche Subtraktion beherrscht, denn es sind keine Fehler zu entdecken . Betrachtet man die Aufgabe jedoch genauer, so fällt auf, dass die Aufgabe keinerlei Stolpersteine in sich birgt - typische Fehler, wie z.B. Fehler mit dem Übertrag, können bei dieser Aufgabe gar nicht begangen werden. Wir erfahren anhand dieses Dokuments also nur, dass Thomas in der Lage ist, schriftliche Subtraktionsaufgaben ohne jeglichen zusätzlichen Schwierigkeitsfaktor korrekt zu lösen. Über alles weitere erlaubt das Schülerdokument keine Aussage. Diese Aufgabe allein eignet sich also nicht, um etwas über Thomas Denk- und Rechenwege zu erfahren.

 

3. Zusammenhängende Aufgaben am Beispiel der schriftlichen Subtraktion - Videoanalyse

Am Beispiel von Thomas soll im Folgenden aufgezeigt werden, dass eine systematische Aufgabenauswahl hilft, bestimmte Fehler besser nachvollziehen zu können bzw. einen Hinweis darauf zu bekommen, ob es sich nur um einen Flüchtigkeitsfehler handelt oder um ein konsequentes Fehlermuster. Insbesondere bei der schriftlichen Subtraktion sind Fehler häufig abhängig von dem jeweils angewandten Algorithmus.

Eine Übersicht zu den verschiedenen Verfahren der schriftlichen Subtraktion finden Sie z.B. bei

Padberg, F. (2005): Didaktik der Arithmetik für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung, S. 221-250.

Eine kurze Zusammenfassung, stellen wir Ihnen hier bereit.

 

Im Folgenden zeigen wir Ihnen verschiedene Dokumente, in denen Thomas Aufgaben zur schriftlichen Subtraktion löst. Einige dieser Aufgaben löst er richtig, andere fehlerhaft.

Betrachten Sie das Video bzw. Schülerdokument zur Lösung der Aufgabe 701 - 698 von dem Viertklässler Thomas, der das Ergebnis 103 anstelle von 3 ermittelt.*

Wie kommt er zu dem fehlerhaften Ergebnis und was ist die Ursache?

 

*Wenn Sie sich wundern, dass Thomas diese Aufgabe überhaupt schriftlich rechnet, obwohl es doch viel leichter wäre durch die Nähe von Minuend und Subtrahend (im Kopf) zu ergänzen: Wir haben die Kinder diese Aufgabe ganz bewusst schriftlich lösen lassen, da die Aufgabe in diesem Zusammenhang duch die erforderlichen Überträge und die Null besonders fehleranfällig ist. Im Übrigen betrachten wir den fehlenden Strich, der das Gleichheitszeichen ersetzt, hier nicht als Fehler.

Mögliche Interpretation zu Thomas Lösung 701 - 698 = 103

Man könnte zu zwei Vermutungen kommen: Entweder Thomas hat Schwierigkeiten mit dem Übertrag, den er ja auch nicht notiert, und/oder es ist die Null, die ihm Schwierigkeiten bereitet.

Um diese Frage besser beantworten zu können, ist es nun notwendig weitere Lösungen von Thomas zur schriftlichen Subtraktion zu betrachten. Deshalb wurden Thomas im Interview weitere Aufgaben gestellt, die genau die vermuteten Stolpersteine (Übertrag bzw. die Null) beinhalten. So enthält die Aufgabe 713 - 281 keine Null, aber dafür wird ein Übertrag erforderlich. Die Aufgabe 560-321 enthält, genau wie die erste Aufgabe, eine Null (aber an der Einer- anstatt der Zehnerstelle des Minuenden) und auch Überträge. Sollte Thomas Fehler bei 701 - 698 nun auf generelle Schwierigkeiten mit dem Übertrag zurückzuführen sein, so müsste er auch die anderen beiden Aufgaben falsch lösen. Löst er nur die Aufgabe 560 - 321 falsch, liegt es vielleicht eher an der Null.

Betrachten Sie nun die weiteren Schülerdokumente bzw. Videos.

Inwiefern bestätigen sich die obigen Vermutungen?

560-321
713-281
Mögliche Interpretation

An den weiteren Aufgaben zeigt sich, dass die beiden aufgestellten Vermutungen nicht zutreffen, denn Thomas löst alle weiteren Aufgaben korrekt (auch wenn er die Überträge nicht notiert) außer 7068 - 6998. Dort kann man in der Tat das gleiche Fehlermuster wie bei 701 - 698 entdecken.

Welche besonderen Gemeinsamkeiten, die sie nicht mit den anderen Aufgaben teilen, weisen die Aufgaben 701 - 698 und 7068 - 6998 auf?

Es ist vermutlich die Null im Minuenden. Thomas hat damit zwar keine generellen Schwierigkeiten, da er die Aufgabe 560 - 321 korrekt löst. Wenn man jedoch genauer hinschaut, handelt es sich bei den beiden falsch gelösten Aufgaben um Nullen, von denen jeweils etwas entbündelt werden muss. Denn "borgt" man sich von 0 Zehnern noch einen Zehner, so erhält man "minus 1" Zehner bzw. muss vorher eine Einheit des nächst höheren Stellenwerts entbündelt werden. (Bei 701-689 betrifft das den Hunderter, bei 7068 den Tausender.) Genau damit scheint Thomas Schwierigkeiten zu haben. Während dies durch alleiniges Betrachten der Aufgabe 701 - 698 allerhöchstens eine wage Vermutung sein kann, liefert erst die Analyse der systematisch zusammengestellten Aufgaben begründete Hinweise.

Auf der Seite zur schriftlichen Subtraktion können Sie mehr über typische Fehler bei diesem Algorithmus erfahren. Darüber hinaus steht dort ein Interviewleitfaden mit einer systematischen Aufgabenzusammenstellung zum Download zur Verfügung.

4. Verwandte Themen

Diagnostische Gespräche
Orientierung im Hunderterraum
Schriftliche Subtraktion

Weitere Materialien zum Thema „Informative Aufgaben" finden Sie auf der Website des Projekts PIK AS in Haus 9 'Lernstände wahrnehmen'.
Wie Aufgaben für den inklusiven Mathematikunterricht adaptiert werden können, finden Sie hier.

5. Literatur