Eine Initiative der
DTS_Logo_CB_3c_n.png
 

Lösungsvielfalt am Beispiel offener Aufgaben

Offene Aufgaben gewähren den Schülerinnen und Schülern viel Bearbeitungsfreiraum. Zu einer offenen Aufgabe ist kein Lösungsweg vorgeschrieben und es gibt mehrere plausible Lösungen. Das Verwenden dieses Aufgabenformats führt zu einer natürlichen Differenzierung im Mathematikunterricht.

1. Lukas liebt große Zahlen
2. Was sind offene Aufgaben?
3. Grundschulkinder bearbeiten offene Aufgabenstellungen
4. Offene Aufgaben selbst entwickeln
5. Verwandte Themen
6. Zitierte Literatur

1. Lukas liebt große Zahlen

Der Viertklässler Lukas rechnet gerne mit großen Zahlen und ihm noch recht unbekannten Rechenoperationen, wie das folgende Dokument von ihm zeigt:

Wie würden Sie als Lehrperson mit Lukas Bearbeitung umgehen? Welche Kompetenzen sehen Sie bei ihm?

2. Was sind offene Aufgaben?

Bei offenen Aufgaben können zwei wesentlich verschiedene Aufgabentypen unterschieden werden:v:gimd

  • Aufgaben, bei denen es mehr als eine plausible Lösung gibt, zu denen ebenso mehrere Rechenwege führen können,
  • Aufgaben, bei denen keine Werte vorgegeben sind. Diese müssen von den Kinder häufig geschätzt oder ermittelt werden.

Zum zweiten Typ zählen z.B. Experimentieraufgaben („Lege mit Plättchen schöne Muster. Wie viele Plättchen brauchst du?"), Probieraufgaben („Ich zähle 22 Beine. Wie viele Hasen und wie viele Hühner könnten es sein?") und Schätzaufgaben, bei denen man bestimmte Werte ausgehend von Alltagserfahrungen oder groben Schätzungen annehmen und mit ihnen weiterrechnen muss (siehe nebenstehende Abbildung). Aber auch die Erfinderaufgaben, bei denen die Aufgabenstellung bzw. das verwendete Zahlenmaterial nicht präzise festgelegt ist, zählen zu den offenen Aufgaben, bei denen keine Werte vorgegeben sind. Die Kinder können hier selbst Zahlenwerte wählen und so neue Aufgaben produzieren („Erfinde fünf Plusaufgaben! Das Ergebnis soll zwischen 100 und 110 liegen.") (vgl. Sundermann & Selter 2006, S. 90-95).

Ein großer Vorteil der offenen Aufgaben liegt darin, dass sie eine natürliche Differenzierung ermöglichen, denn jedes Kind kann die Aufgabe nach seinen individuellen Fähigkeiten und mit eigenen Hilfsmitteln bearbeiten, was bedeutet, dass alle Kinder an der gleichen Aufgabe, aber auf z.T. sehr unterschiedlichem Niveau arbeiten. So kann z.B. bei einer Erfinderaufgabe ein leistungsstärkeres Kind mehrere zum Arbeitsauftrag passende Bearbeitungen finden, während ein leistungsschwächeres Kind nur wenige findet (quantitative Differenzierung). Eine qualitative Differenzierung zeigt sich zum Beispiel im Schwierigkeitsgrad gefundener Aufgaben. Daher verleiten offene Aufgaben die Schülerinnen und Schüler - ausgehend von ihrem Niveau - zum mathematischen Denken und Handeln und führen so zu einer Weiterentwicklung der individuellen Leistungsfähigkeit (vgl. Rasch 2007, S. 6- 9).

Rasch (2007, S. 9-14) fasst folgende Punkte als Wirkungen offener Aufgaben auf den Mathematikunterricht zusammen:

     1. Wissen kann gezeigt werden und wird auf diese Weise bewusster.
     2. Das aktuelle Wissen der Lernenden kann erfasst und berücksichtigt werden.
     3. Die Aufgaben regen zum Nutzen von Strukturen und zur Analogiebildung an.
     4. Das Nachdenken über Zahlenbeziehungen wird angeregt.
     5. Das Einschätzen der eigenen Leistungsfähigkeit wird gefordert und gefördert.
     6. Freies Schreiben unterstützt die Aufgabenbearbeitung.
     7. Fehler spielen eine produktive Rolle.

Ein Umgang mit Offenheit in den Aufgabestellungen muss für eine erfolgreiche Bewältigung von vielen Kindern und auch von vielen Lehrpersonen erst geübt werden. Zum Beispiel neigen manche Kinder bei offenen Aufgaben dazu, die Anforderungen minimal zu halten. In solchen Fällen kann man im Unterricht z.B. bewusst das Unterscheiden und Finden von leichten und schwierigen Aufgaben anstreben oder auch die Kinder dazu auffordern, über den eingestuften Schwierigkeitsgrad der einzelnen Aufgaben zu reflektieren und zu begründen, wie diese Einschätzung zustande kommt (vgl. Krauthausen & Scherer 2007, S. 310).

 

3. Grundschulkinder bearbeiten offene Aufgabenstellungen

Wir haben Dritt- und Viertklässlern offene Aufgaben gestellt (entnommen aus Rasch 2007). Unten sehen Sie exemplarisch einige Bearbeitungen.
  • Betrachten Sie die Kinderdokumente und beantworten Sie folgende Fragen:
  • Inwiefern spiegeln sich heterogene Bearbeitungsweisen in den Kinderdokumenten wider? Welche qualitativen und quantitativen Unterschiede sehen Sie in den Bearbeitungen?
  • Inwiefern finden Sie in den Kinderdokumenten Fehler? Erklären Sie diese? Wie könnte produktiv mit ihnen umgegangen werden?
  • Inwiefern werden die Kinder an manchen Stellen aufgefordert, über Zahlbeziehungen nachzudenken? Wie setzen die Kinder diese Anregung um?
  • Bei welchen Kindern haben Sie das Gefühl, dass diese die Offenheit der Aufgabe ausgenutzt oder auch den offenen Arbeitsauftrag falsch verstanden haben? Was würden Sie den entsprechenden Kindern rückmelden?

Suche dir eine Zahl, mit der du gern einmal rechnen würdest. Rechne verschiedene Aufgaben mit dieser Zahl.

Finde immer 3 Zahlen, die gut zusammen passen. Schreibe auf, warum das deiner Meinung nach so ist.

Suche dir eine Zahl, mit der du gern einmal rechnen würdest. Rechne verschiedene Aufgaben mit dieser Zahl.

Schreibe Sachaufgaben zum Bild.

 

Hier finden Sie eine exemplarische Analyse der obigen Kinderdokumente.

4. Offene Aufgaben selbst entwickeln

In den aktuellen Lehrwerken sind offene Aufgaben bisher eher selten zu finden, jedoch ist es bei nahezu jeder geschlossenen Aufgabe möglich, diese in eine offene Aufgabe umzugestalten. Büchter und Leuders (2005) beschreiben entsprechende Techniken und verdeutlichen diese an den unten aufgeführten Aufgaben:

Techniken zum Öffnen von Aufgaben
  • Aufforderung zur Begründung / zur Strategiefindung
  • Variation der Ausgangssituation / der Festlegung auf Darstellungsarten
  • Weglassen von Vorgaben oder Informationen
  • Vorwegnehmende Platzierung im Unterricht
  • Zielumkehr / Perspektivenumkehr
  • Anwendungssuche für Modelle / Verfahren

Hierzu einige Beispiele:

Begründungsaufgaben
Eine Möglichkeit Aufgaben zu öffnen besteht darin, zu einer bestehenden Aufgabe ebenso das Ergebnis anzugeben und die Schülerinnen und Schüler nach einem möglichen Lösungsweg oder einer Begründung für selbigen zu fragen.

Geschlossene Aufgabe
„Die Winkelsumme in einem n-Eck beträgt(n - 2) · 180°. Insbesondere beträgt die Winkelsumme in einem Viereck 360°.
Aufgabe:

Berechne die Winkelsumme in einem
a) 5-Eck, b) 11-Eck, c) 37-Eck."

Geöffnete Aufgabe
Begründe mithilfe einer Zeichnung, warum die Winkelsumme in einem Achteck 1080° beträgt.

Oder:
Finde eine Begründung dafür, dass die Winkelsumme in einem Fünfeck immer 540° beträgt.

Im Gegensatz zur geschlossenen Version der Aufgabe, bei der nur abgefragt wird, ob eine Schülerin oder ein Schüler in die gegebene allgemeine Formel die Anzahl der Ecken der betrachteten Figur, statt des Platzhalters n einsetzen kann, wird in den geöffneten Versionen der Aufgabe abgefragt, ob eine Schülerin oder ein Schüler das zugrunde liegende Verfahren tatsächlich verstanden hat.

 

Problemaufgaben

Bei diesem Typ von offenen Aufgaben besteht Klarheit über die Ausgangssituation, aber es ist noch nicht zu erkennen, wie der Lösungsweg oder die Lösung selbst aussehen könnten. Sie entstehen durch gezieltes Weglassen von Informationen, die ein bestimmtes Verfahren nahelegen würden oder dadurch, dass eine Lerngruppe das Standardverfahren zum Lösen der Aufgabe noch nicht kennt.

Geschlossene Aufgabe

Ein Kinobesitzer will am ruhigen Montag Kunden anlocken. Daher bietet er an diesem Tag alle Karten zu 3 € statt 8 € an. Statt der üblichen 30 Besucher kommen 50. Hat sich die Aktion gelohnt?

Geöffnete Aufgabe

Ein Kinobesitzer will am ruhigen Montag seine Auslastung verbessern. Üblicherweise kommen nur ca. 30 Besucher. Seine Konkurrenz lockt die Besucher montags mit niedrigeren Preisen, das möchte er nun auch machen. Wann genau lohnt sich seine Aktion?

Offene Situation

Beispiele für offene Situationen sind u.a. die Fermi-Aufgaben, bei denen typischerweise in der Aufgabenstellung kaum Daten vorgegeben werden. Eine geschlossene Schulbuchaufgabe kann man auch hier durch Weglassen von Informationen, die den Lösungsweg schon vorstrukturieren und einengen, zu einer Fermi-Aufgabe machen:

Geschlossene Aufgabe

„Weltweit wurden 1992 etwa 5,6 · 1011 Hühnereier produziert. Wie viel km hoch ist ein Stapel, wenn man sie sich in die üblichen 10er-Packungen (Höhe 6 cm) abgepackt und diese aufeinander geschichtet denkt?"

Geöffnete Aufgabe

Wie hoch wäre ein Turm aus allen Hühnereiern, die weltweit in einem Jahr gelegt werden?

Wollen Sie noch mehr über Fermi-Aufgaben erfahren? Dann klicken Sie hier.

Zielumkehr

Bei diesem Aufgabentyp wird eine Öffnung durch eine Ziel- oder Perspektivenumkehr bewirkt. Statt zum Beispiel anhand der Flächenformel für ein Dreieck dessen Fläche ausrechnen zu lassen, ist eine mögliche Frage nach Zielumkehr also:

Finde möglichst viele verschiedene Dreiecke, deren Flächeninhalt 72 cm² beträgt.
Oder:
Wie viele ganzzahlige Kombinationen von Länge der Grundseite und Länge der Höhe gibt es dabei?

Hier treten viele Ausgangsdaten auf, die alle auf ein Ergebnis führen. Solche Aufgaben erfordern es oft mit einem Lösungsweg anders und flexibler umzugehen (vgl. Büchter & Leuders 2005).

 

5. Verwandte Themen

Stützpunktvorstellungen
Überschlagsrechnen
Fermi-Aufgaben

Ergiebige Aufgaben haben eine zentrale Bedeutung für den Unterricht. Auf der Website des Projekts PIK AS werden in Haus 7 neben der Offenheit von Lösungswegen weitere Charakteristika und unterrichtliche Einsatzmöglichkeiten 'guter Aufgaben' thematisiert. In Haus 6 'Themenbezogene Individualisierung' finden Sie außerdem eine Zusammenstellung für den Einsatz offener Aufgaben im Mathematikunterricht für die Klassen 1 und 2, sowie 3 und 4 zu allen Inhaltsbereichen des Lehrplans.

 

6. Zitierte Literatur

Sundermann, B. & Selter Ch. (2006). Beurteilen und Fördern im Mathematikunterricht. Berlin: Cornelsen, S. 90-95.

Rasch, R. (2007). Offene Aufgaben für individuelles Lernen im Mathematikunterricht der Grundschule 1 + 2. Seelze: Friedrich Verlag, S. 7-15.

Krauthausen, G. & Scherer, P. (2007). Einführung in die Mathematikdidaktik. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 309-312.

Büchter, A. & Leuders, T. (2005). Mathematikaufgaben selbst entwickeln. Berlin: Cornelsen, S. 88-102.