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Prozessbezogene Kompetenzen: Kombinatorik

Die Auseinandersetzung mit kombinatorischen Fragestellungen leistet einen wertvollen Beitrag zum Erwerb prozessbezogener Kompetenzen. Arbeitsaufträge wie „Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt?" und „Warum bist du dir sicher, dass du alle Lösungen gefunden hast? Begründe!"  fordern die Kinder dazu auf Probleme zu lösen und mathematisch zu argumentieren. Auf dieser Seite erhalten Sie einerseits Informationen über Problemlöseprozesse im Kontext kombinatorischer Aufgabenstellungen und andererseits die Möglichkeit Lösungswege von Drittklässlern beim Lösen kombinatorischer Aufgabenstellungen zu erkunden.

1. „Alle vier Mannschaften spielen dreimal, aber es gibt sechs Spiele ..."
2. Kombinatorik: Zählen, ohne zu zählen
3. Kombinatorische Aufgabenstellungen selber lösen
4. Problemlösen im Kontext kombinatorischer Aufgabenstellungen

4.1. Vorgehensweisen bei kombinatorischen Aufgaben
4.2. Schülervorgehensweisen erkunden: Auflisten und Abzählen
4.3. Schülervorgehensweisen erkunden: Zählstrategien
5. Verwandte Themen
6. Zitierte Literatur

1. „Alle vier Mannschaften spielen dreimal, aber es gibt sechs Spiele ..."

Das Fußballturnier

Drittklässler Peter hat sechs Lösungen gefunden. Er sortiert seine gefundenen Lösungen um: gelb-grün und gelb-schwarz liegen schon untereinander, grün-rot ersetzt er durch gelb-rot. Daneben legt er rot-schwarz, grün-rot und grün-schwarz.

P: (überlegt) ...dass Dortmund dreimal spielt, dass Werder auch noch mal dreimal spielt, dass jede Mannschaft dreimal spielt. Bayern hat schon dreimal gespielt (P. schaut auf seine gefundenen Lösungen). Jetzt hat jede Mannschaft dreimal gespielt.

I: Aha. Und wie viele Fußballspiele gibt es jetzt insgesamt auf dem Turnier?
P: Einmal rechnen: Eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs (P. zählt die untereinanderliegenden Spielpaarungen einzeln ab) und jede Mannschaft spielt drei Mal.

I: Aha, warum sind das sechs? Warum bist du dir sicher, dass du nichts vergessen hast?
P: Also man zählt erst mal zum Beispiel die grünen Spiele. Ein grünes Spiel, zwei grüne Spiele, drei grüne Spiele. Was? Jetzt ist mir selbst der Fehler aufgefallen, das sind nicht 6 das sind sogar noch mehr.
I: Aha.
P: Es sind sechs Spiele aber jede Mannschaft spielt dreimal aber. Äh jede Mannschaft spielt dreimal, aber es gibt´s aber sechs Spiele, weil, weil das ähm zwei Mannschaften immer gegeneinander spielen.

Im Verlaufe der Grundschulzeit sollen Kinder lernen "die Anzahl verschiedener Möglichkeiten im Rahmen einfacher kombinatorischer Aufgabenstellungen" (MSW NRW 2008, S.18) zu bestimmen. Solche Problemstellungen erfordern seitens der Lernenden das Erschließen mathematischer Zusammenhänge, das Aufstellen von Vermutungen, systematisch zu probieren, zu reflektieren und prüfen und die Vollständigkeit der Lösungen zu begründen.

2. Kombinatorik: Zählen, ohne zu zählen

„Kombinatorik ist die Kunst des geschickten Zählens"
(Hefendehl-Hebeker 2003, S. 117).

Die Kombinatorik wird häufig als die Kunst des Zählens oder geschickten Zählens bezeichnet (vgl. auch Engel 1987, S. 87; English & Sriraman 2004, S.1;  Selter & Spiegel 2004, S. 295). Ziel ist es oftmals, wie in dem obigen Beispiel, alle zulässigen Kombinationsmöglichkeiten („Welche gibt es?") und deren Anzahl („Wie viele Möglichkeiten gibt es?") zu bestimmen (vgl. Kütting & Sauer 2008, S. 76).

Der Begriff „geschicktes Zählen" verdeutlicht, wie dabei vorgegangen werden soll: möglichst geschickt bzw. möglichst einfach. Es geht somit darum möglichst einfache Wege zur Anzahlbestimmung zu finden. Schon zu Beginn des ersten Schuljahres wird das geschickte (Ab-) Zählen einzelner Elemente und das Ermitteln der Anzahl einer gegebenen Menge thematisiert. Das Rechnen, also das Verwenden von Rechenoperationen wie der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, ist die Kunst, die vom mühsamen Zählen befreit (vgl. Selter & Spiegel 2004, S. 81). Rechnen ist damit nichts anderes als geschickt zu zählen.

Kombinatorische Aufgabenstellungen, wie z.B. die Fußballaufgabe, unterscheiden sich in drei wesentlichen Punkten von den bereits bekannten Aufgaben zur Anzahlbestimmung (vgl. Höveler in Vorb.):

  1. Ziel ist es die Anzahl aller Spielpaarungen zu ermitteln, es geht also darum die Anzahl der Figuren zu bestimmen und nicht mehr die Anzahl von Einzelelementen.
  2. Die zu zählenden Figuren (die Spielpaarungen) liegen noch nicht vor, sie müssen erst aus den einzelnen Elementen (immer zwei Mannschaften) erstellt werden.
  3. Den zu bildenden kombinatorischen Figuren liegen abhängig von der jeweiligen Problemstellung verschiedene Bedingungen zugrunde. Bei der Fußballaufgabe ist zu beachten, dass eine Mannschaft nicht gegen sich selbst spielen kann. Außerdem ist zu beachten, dass jede Mannschaft nur einmal gegen jede andere spielen darf.

Für die geschickte Bestimmung aller Möglichkeiten gibt es in der Kombinatorik eine Vielzahl verschiedener Lösungswege, mit denen Sie sich im Folgenden konkreter auseinandersetzen können. Wichtig ist dabei auch ausschließen zu können, dass Möglichkeiten doppelt gezählt oder vergessen wurden, also die Vollständigkeit der Lösungen begründen zu können.

3. Kombinatorische Aufgabenstellungen selber lösen

Um Lösungswege von Kindern und deren Begründungen im Kontext kombinatorischer Aufgabenstellungen verstehen zu können, ist es notwendig, Einsichten in das Lösen solcher Aufgabenstellungen zu gewinnen. Diese sollen Sie zunächst durch die Betrachtung und Reflexion Ihres eigenen Lösungsprozesses gewinnen. Im Folgenden sehen Sie zwei Aufgabenstellungen, die für Drittklässler konzipiert wurden:

Das Fußballturnier

Auf einem Fußballturnier soll jede Mannschaft genau einmal gegen jede andere Mannschaft spielen. Es nehmen i) 4, ii) 5, iii) 6 Mannschaften teil.

a) Wie viele Fußballspiele gibt es auf dem Turnier insgesamt?

b) Warum sind das alle? Begründe!

Lotto

In einem Säckchen sind Kugeln mit Zahlen. Es sollen immer zwei Kugeln gleichzeitig aus dem Säckchen gezogen werden. Es sind i) 4, ii) 5, iii) 6 Kugeln mit verschiedenen Zahlen in dem Säckchen.

a) Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es zwei Kugeln gleichzeitig aus dem Säckchen zu ziehen?

b) Warum sind das alle? Begründe!

  1. Lösen Sie die beiden kombinatorischen Probleme. Wichtig: Die Verwendung kombinatorischer Formeln als ein Lösungsweg ist erlaubt, Sie sollten in diesem Fall aber mindestens einen weiteren Lösungsweg finden.
  2. Reflektieren Sie ihren Lösungsprozess: Wie sind Sie vorgegangen? Identifizieren sie eine oder mehrere Schlüsselideen in ihrem Vorgehen. Überlegen Sie auch, ob es besondere Schwierigkeiten gab.
  3. Diskutieren Sie Ihr Vorgehen mit Ihren Kommilitonen. Vergleichen Sie Ihren Lösungsweg mit denen der anderen und versuchen Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede herauszuarbeiten.

Überlegen Sie auch, wie viele Möglichkeiten es bei n Mannschaften bzw. n Lottokugeln gibt.

4. Problemlösen im Kontext kombinatorischer Aufgabenstellungen

4.1. Vorgehenweisen bei kombinatorischen Aufgaben

Wie bereits im Hintergrundwissen angesprochen ist die Vielfalt an Lösungswegen charakteristisch für das Lösen kombinatorischer Aufgabenstellungen. Als LehrerIn sollten Sie sich dessen bewusst sein, bei der Betrachtung der Vorgehensweisen von Kindern berücksichtigen und als Konsequenz natürlich auch im Unterricht verschiedene Lösungswege zulassen.

Ganz allgemein kann man zwischen drei Herangehensweisen unterscheiden, von denen letztere in der Grundschule noch keine Rolle spielt:

1. Das (systematische) Auflisten und Abzählen

2. Das Verwenden kombinatorischer Zählstrategien

3. Das Nutzen der kombinatorischen Formeln

Das Auflisten und Abzählen ist der elementarste Lösungsweg, der den Lernenden zur Verfügung steht. Eine systematische Auflistung (mit Material oder schriftlich) erlaubt es ausschließen zu können, dass Figuren doppelt gezählt oder vergessen wurden. Das Verwenden kombinatorischer Zählstrategien baut quasi auf den systematischen Auflistungen auf. Die Idee ist es, sich zu überlegen, wie die Anzahl aller Objekte möglichst geschickt zusammengezählt werden kann. Dazu ist es möglich sich zunächst bildlich und später hypothetisch zu überlegen, wie man die Objekte geschickt zusammenstellen und auszählen kann.

Die intuitiven Vorgehensweisen von Kindern über das Auflisten wurden bereits in verschiedenen internationalen Studien (vgl. u.a. Piaget & Inhelder 1975; English 1991;1993; Hoffmann 2003) genauer untersucht und beschrieben. Dabei hat sich insbesondere eine Untersuchung von English (1991) damit beschäftigt, welche Vorgehensweisen Kinder bei der Bearbeitung von Aufgaben zeigen, in denen - wie in den Beispielen - immer zwei Elemente miteinander kombiniert werden müssen.  Sie stellt sechs Lösungsstrategien heraus, die von zufälligen Herangehensweisen über Versuch und Irrtum bis hin zu einem systematischen Finden aller Möglichkeiten reichen. Eine Kenntnis dieser Wege trägt dazu bei die individuellen Vorgehensweisen der Kinder besser zu verstehen.

In einer noch nicht veröffentlichten Untersuchung mit Drittklässlern wurde zudem festgestellt, dass viele Kinder intuitiv versuchen die Anzahl aller Lösungen rechnerisch zu bestimmen bzw. sich Zählstrategien zunutze zu machen (vgl. Höveler in Vorb.). Entsprechend trägt eine Kenntnis kombinatorischer Zählstrategien ebenfalls dazu bei die Vorgehensweisen der Kinder besser zu verstehen.

Hier finden Sie eine genauere Beschreibung der Vorgehensweisen von Kindern bei der Bearbeitung kombinatorischer Aufgabenstellungen:

1. Lösungsstrategien nach English (1991) über das Auflisten und Abzählen

2. Lösungstrategien über kombinatorische Zählstrategien

4.2. Schülervorgehensweisen erkunden: Auflisten und Abzählen

Im Rahmen einer Studie wurde Kindern der dritten Klasse nacheinander die Fußball- und die Lottoaufgabe gestellt (vgl. Höveler in Vorb.).
  1. Welche Lösungswege, Schwierigkeiten und Fehler erwarten Sie von den Kindern?
  2. Analysieren Sie die Lösungsansätze der Kinder mit dem Ziel diese zu verstehen. Folgende Analyseschritte können Ihnen dabei helfen:  
  • Notieren Sie Ihre Beboachtungen.
  • Versuchen Sie die Vorgehensweisen der Kinder den Lösungsstrategien nach English (1991) zuzuordnen.
  • Welche Schwierigkeiten haben die Kinder? Woran könnte das liegen?

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Melissa

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Robert (Fußball)

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Robert (Lotto)

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Mina

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4.3. Schülervorgehensweisen erkunden: Zählstrategien

Wie bereits angedeutet lassen sich in den Vorgehensweisen der Drittklässler auch bereits erste Ansätze von Zählstrategien erkennen, die über das Auflisten hinaus gehen.

  1. Machen Sie sich, falls noch nicht geschehen, mit den kombinatorischen Zählstrategien vertraut.
  2. Betrachten Sie die Lösungswege der Kinder ein zweites Mal:
  • An welchen Stellen in den Videos entdecken Sie Hinweise auf die genannten Zählstrategien?
  • Wo werden diese evtl. auch falsch eingesetzt?
  • Welche sinnvollen Überlegungen seitens der Kinder könnten dahinterstecken?

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Melissa

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Robert (Fußball)

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5. Verwandte Themen

Prozessbezogene Kompetenzen
Zahlengitter
Reihenfolgezahlen
Operatives Prinzip
Schöne Päckchen

In Haus 1 'Entdecken, Beschreiben, Begründen' unseres Partnerprojekts PIK AS finden Sie Informations-, Unterrichts- und Fortbildungsmaterial zum Thema 'Prozess- und inhaltsbezogene Kompetenzen'.

 

6. Zitierte Literatur

Engel, A. (1987). Stochastik. Stuttgart: Klett.

English, L. (1993). Children`s strategies for solving two and three dimensional problems. In: Journal for Research in Mathematics Education. H. 24 (3), S. 255-273.

Hefendehl-Hebeker, L. (2003). Unveröffentlichtes Skript zur Vorlesung "Didaktik der Stochastik I- Wahrscheinlichkeitsrechnung". Duisburg.

Hefendehl-Hebeker, L. & Törner, G. (1984). Über Schwierigkeiten bei der Behandlung der Kombinatorik. In: Didaktik der Mathematik, H.12 (4), S. 245 - 262.

Höveler, K. (in Vorb.). Kombinatorik in der Grundschule: Vorgehensweisen und Vorstellungen von Kindern des dritten Schuljahres bei der Anzahlbestimmung im Kontext kombinatorischer Aufgabenstellungen.

Hoffmann, A. (2003). Elementare Bausteine der kombinatorischen Problemlösefähigkeit. Hildesheim; Berlin: Franzbecker.

Jeger, M. (1973). Einführung in die Kombinatorik. Band 1. Stuttgart: Klett.

Kütting, H. & Sauer, M. (2008). Elementare Stochastik. Mathematische Grundlagen und didaktische Konzepte. 2. Auflage. Berlin, Heidelberg: Spektrum.

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW (Hrsg.) (2008). Lehrplan Mathematik für die Grundschulen des Landes NRW. Verfügbar unter: http://www.schulentwicklung.nrw.de/lehrplaene/upload/lehrplaene_download/grundschule/grs_faecher.pdf (Abruf am: 13.07.2011)

Piaget, J., & Inhelder, B. (1975). The origin of the idea of chance in children. New York: W. W. Norton.

Schrage, G. (1996). Analyzing Subject Matter. Fundamental Ideas of Combinatorics. In: J. Cooney, S. Brown u.a. (Hrsg.): Mathematics, Pedagogy, and Secondary Education. Portsmouth: Heinemann, S. 167-220.

Selter, Ch. & Spiegel, H. (2004). Zählen, ohne zu zählen. In: G. Müller, H. Steinbring & E. Ch. Wittmann (Hrsg.): Arithmetik als Prozess. Seelze: Kallmeyer, S. 81-90.

Selter, Ch. & Spiegel, H. (2004). Elemente der Kombinatorik. In: G. Müller, H.Steinbring & E. Ch. Wittmann (Hrsg.): Arithmetik als Prozess. Seelze: Kallmeyer, S. 291-310.

Sriraman, B. & English, L. (2004). Combinatorial Mathematics: Research into practice. Connecting Research into Teaching. In: The Mathematics Teacher, H. 98 (3), S. 182-191.