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Strategien zur Einschätzung von Wahrscheinlichkeiten

Ob beim Glücksraddrehen auf der Kirmes oder beim ‚Mensch ärgere Dich nicht' Spielen in der Familie: Glücksspiele und somit auch der Umgang mit Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten, kommen im alltäglichen Leben vor. Dennoch sind sich viele Kinder und auch Erwachsene häufig nicht darüber bewusst, dass hinter dem Zufall Regelmäßigkeiten stecken. Welches Wissen und welche Strategien Kinder mitbringen, um Wahrscheinlichkeiten einzuschätzen, zeigen wir auf dieser Seite. Hier können Sie üben ausgewählte Schülerdokumente (entnommen aus Knappstein 2010) auf gegebene Strategien hin zu analysieren und zu bewerten.

1. Wenn die Sechs dreimal hintereinander fällt...

Linus reagiert auf die Aussage, dass beim Würfeln mit einem Würfel die Auftrittswahrscheinlichkeit für alle Augenzahlen gleich ist, folgendermaßen:

„Aber bei mir kam beim Würfelspiel gestern dreimal die 6 hintereinander. Also ist die 6 eher wahrscheinlich."

Wie kommt Linus zu dieser Aussage? Wie würden Sie mit solchen Aussagen im Unterricht umgehen?

2. Hintergrundwissen

2.1. Die Bedeutung des Umgangs mit Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten

Der Umgang mit „Daten, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten" ist laut den Bildungsstandards (vgl. KMK 2005) fester Bestandteil des Mathematikunterrichts der Grundschule, der im Sinne des Spiralprinzips durchgehend in allen Jahrgangsstufen gefördert werden sollte. So soll laut dem Lehrplan für das Land NRW sichergestellt werden, dass die Kinder Daten „in Bezug auf konkrete Fragestellungen [auswerten, sowie] die Wahrscheinlichkeiten einfacher Ereignisse" (MSW NRW 2008, S. 18) einschätzen lernen. Während dabei bis zum Ende der Schuleingangsphase das Sammeln und die Darstellung und Auswertung von Daten im Vordergrund stehen (vgl. ebd.), sollten die Kinder am Ende der Schuleingangsphase „die Wahrscheinlichkeit von einfachen Ereignissen (z.B. mit Begriffen wie „sicher, wahrscheinlich, unmöglich, immer, häufig, selten, nie")" (ebd.) beschreiben sowie „die Anzahl verschiedener Möglichkeiten im Rahmen einfacher kombinatorischer Aufgabenstellungen" (ebd.) bestimmen können. Hierbei ist wichtig, die alltagssprachlich verwendeten Begrifflichkeiten bewusst auch als mathematische Fachbegriffe zu thematisieren, um deren zum Teil abweichende Bedeutung herauszustellen (Walther u.a. 2008, S. 150).

Weitere Informationen zu den geforderten Kompetenzen im Umgang mit Daten, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten, finden Sie im Lehrplan NRW (MSW NRW 2008) und den Bildungsstandards (KMK 2005).

2.2. Häufig gezeigte Strategien und Vorstellungen zur Einschätzung von Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten:

Im Mathematikunterricht sollen die Kinder die Gelegenheiten bekommen zu lernen, „ihr subjektives Empfinden [...] zunehmend in den Hintergrund" (Walther u.a. 2008, S. 150) zu stellen. Dies ist keine leichte Forderung, denn nicht nur Kindern, sondern auch Erwachsenen mit „gut ausgebildeten fachlichen Vorstellungen" (Büchter u.a. 2005, S. 5) gelingt dies nicht immer, da sie sich oft von informellen Erfahrungen leiten lassen, wenn sie Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten einschätzen sollen. In der Literatur (vgl. Pratt 2000) werden diesbezüglich vier verschiedene Begründungsstrategien (eher im Sinne von „Vorstellungen" zu verstehen) genannt:

  1. Die ‚availability heuristic' (‚Verfügbarkeitsheuristik'), nach der Urteile auf häufig erlebte Situationen zurückgeführt werden. So wird das Vorkommen der 6 aufgrund der Erfahrungen bei Brettspielen häufig als unwahrscheinlicher angesehen. Verfügbare oder vertraute Erfahrungen werden für maßgeblich erachtet.
  2. Die ‚representativeness heuristic' (‚Verallgemeinerung'), die auftritt, wenn oft wenige, selbst durchgeführte Versuche als repräsentativ für die allgemeine Häufigkeitsverteilung angesehen werden. Wenn also bei zehnmaligem Würfeln mit einem Würfel die 3 am häufigsten vorkommt, wird daraus geschlossen, dass ihr Auftreten generell wahrscheinlicher ist als das der anderen Augenzahlen, ähnlich wie es im Einstiegsbeispiel bei Linus der Fall ist. Von den wenigen Erfahrungswerten wird auf die Grundgesamtheit geschlossen.
  3. Die ‚equiprobability bias' (‚Gleichwahrscheinlichkeitstendenz'), die besagt, dass alle Möglichkeiten gleich wahrscheinlich sind, so bspw. auch die Augensummen 12 und 7 beim Würfeln mit zwei Würfeln.
  4. Der ‚outcome approach' (‚Ergebnisorientierte Ansatz'), bei dem man nicht auf die Wahrscheinlichkeit, sondern auf den speziellen Ausgang des Versuchs eingeht. Demzufolge wäre z.B. der Ausgang beim Glücksraddrehen davon abhängig, ob man mit viel oder wenig Schwung gedreht hat.
Weitere Informationen zu den genannten Strategien/Vorstellungen finden Sie i:

Pratt, D. (2000). Making sense of the total of two dice. In: Journal for Research in Mathematics Education. H. 5 (31), S. 602-625. Verfügbar unter: http://people.ioe.ac.uk/dave_pratt/Dave_Pratt/Randomness_and_probability_files/Two%20dice.pdf (Abruf am 25.07.2011)

3. Eigene Erkundung: Beispiele für die genannten Strategien/Vorstellungen

Entwickeln Sie zu jeder der oben genannten Strategien/Vorstellungen eine mögliche Aussage zur Auftrittswahrscheinlichkeit der einzelnen Augenzahlen beim Würfeln mit einem Würfel, wie sie auch aus dem Munde eines Grundschülers stammen könnte.

4. Schülerdokumente analysieren

Wir haben Viertklässler darum gebeten zuerst in Einzelarbeit 30-mal mit einem Würfel zu würfeln und eine Strichliste über die geworfenen Augenzahlen zu führen. Weiterhin sollten die Kinder dann herausstellen, was ihnen an den Ergebnissen bzw. der Strichliste auffällt und diese Auffälligkeiten begründen.

Schauen sie sich nun die unten gezeigten Kinderdokumente (aus Knappstein 2010) an. Können Sie bei den Lösungen der Kinder die oben dargestellten Strategien/Vorstellungen identifizieren? Wenn ja, welche? Begründen Sie Ihre Entscheidung!

Enrico
 

Catherine
 

Fabian

Sabrina

Holger

Timo

Vincent

Hier finden Sie mögliche Interpretationen der obigen Kinderdokumente.

5. Weiterführende Aufgaben

Betrachten Sie nochmals die Schülerdokumente. Stellen Sie Überlegungen an, wie Sie die verschiedenen Strategien/Vorstellungen im Unterricht thematisieren würden.

Falls Sie hier noch Hilfe brauchen, können Sie in Walther et al. (2008) oder Schwarzkopf (2004) Anregungen finden.

6. Verwandte Themen

Prozessbezogene Kompetenzen
Kombinatorik
Stichproben ziehen
Gewinnregeln beurteilen
Gewinnwahrscheinlichkeiten

Auf der Website unseres Partnerprojekts PIK AS finden Sie in Haus 7 die komplette Lernumgebung, aus der die obigen Kinderdokumente stammen. Darüber hinaus finden Sie in Haus 7 weitere Lernumgebungen, z.B. zu den Themen 'Unsere Schule in Zahlen' und 'Dinosaurier', die ebenfalls den Inhaltsbereich 'Daten, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten' ansprechen.
Wenn Sie Mathematik fachfremd unterrichten und selbst in der Vergangenheit nicht allzu viele Erfahrungen mit dem Wahrscheinlichkeitsbegriff sowie der Wahrscheinlichkeitsrechnung sammeln konnten, dann besuchen Sie doch einfach die Homepage des Projektes PriMakom („Primarstufe Mathematik kompakt“). Dabei handelt es sich in erster Linie um eine Selbstlernplattform für fachfremd Unterrichtende, die sich mathematikdidaktische Kenntnisse in kompakter Form rasch aneignen möchten. Dort erhalten Sie interessante theoretische Hintergrundinformationen zum Wahrscheinlichkeitsbegriff sowie zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und darüber hinaus finden Sie dort viele hilfreiche unterrichtspraktische Hinweise.

7. Material

Arbeitsblatt „Würfeln"

8. Zitierte Literatur

Büchter, A.; Hußmann, S.; Leuders, T. & Prediger, S. (2005). Den Zufall im Griff? In: Praxis Mathematik. H. 4, S. 1-7. Verfügbar unter: http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~prediger/veroeff/05-PM-H4-Stochastik-Einfuehrung.pdf (Abruf am: 29.07.2011)

Knappstein, A. (2010). Erstellung, Erprobung und Evaluation einer Lernumgebung zum Thema "Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten". Unveröffentlichte Bachelorarbeit. TU Dortmund.

KMK (2005). Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich. Beschluss vom 15.10.2004. München, Neuwied: Wolters-Kluwer, Luchterhand Verlag. Verfügbar unter: http://www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2004/2004_10_15-Bildungsstandards-Mathe-Primar.pdf (Abruf am: 13.07.2011)

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW (Hrsg.) (2008). Lehrplan Mathematik für die Grundschulen des Landes NRW. Verfügbar unter: http://www.schulentwicklung.nrw.de/lehrplaene/upload/lehrplaene_download/grundschule/grs_faecher.pdf (Abruf am: 13.07.2011)

Pratt, D. (2000). Making sense of the total of two dice. In: Journal for Research in Mathematics Education, H. (31) 5. Verfügbar unter: http://people.ioe.ac.uk/dave_pratt/Dave_Pratt/Randomness_and_probability_files/Two%20dice.pdf (Abruf am: 25.07.11)

Walther, G.; van den Heuvel-Panhuizen, M.; Granzer, D. & Köller, O. (2008). Bildungsstandards für die Grundschule: Mathematik Konkret. Berlin. Cornelsen Verlag.

9. Weiterführende Literatur

Schwarzkopf, R. (2004). Wer gewinnt? - Dem Zufall auf der Spur. In: Die Grundschulzeitschrift. H. 172, S. 32-36.

 

© Angela Knappstein für das KIRA-Team