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Stützpunktvorstellungen

Der Bereich Größen ist ein wesentlicher Bestandteil des Mathematikunterrichts in der Grundschule. Er umfasst allerdings weit mehr als das Messen und das Rechnen mit Größen. Eine besondere Bedeutung kommt den mentalen Repräsentanten, den sogenannten Stützpunktvorstellungen von Größen zu. Was genau darunter zu verstehen ist, wie sich diese entwickeln und warum ihnen eine so große Bedeutung zukommt, können Sie auf dieser Seite anhand von Schülerdokumenten und Videos erfahren.

1. Stützpunktvorstellungen zum Größenbereich Längen - einige Beispiele
2. Hintergrundwissen: Was sind Stützpunktvorstellungen?
3. Welche Vorstellungen besitzen Kinder zu Längen?
3.1 Abrufen von Stützpunktvorstellungen
3.2 Anwendungen von Stützpunktvorstellungen
4. Wie entwickeln sich Stützpunktvorstellungen?
5. Schwierigkeiten mit mittelbaren Stützpunktvorstellungen
6. Verwandte Themen
7. Material
8. Zitierte Literatur
9. Weiterführende Literatur

1. Stützpunktvorstellungen zum Größenbereich Längen - einige Beispiele

Das folgende Einstiegsvideo zeigt Ihnen, wie Schüler der zweiten und vierten Klasse, die sich in einem etwa drei Meter hohen Raum befinden, dessen Höhe ohne den Einsatz von Messinstrumenten ermitteln.

Bevor Sie sich das Video anschauen, schätzen Sie, wie hoch wohl der Raum ist, in dem Sie sich gerade befinden, und machen Sie sich bewusst, wie Sie dabei vorgegangen sind.

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Betrachten Sie das Video. Auf welche Weisen bestimmen die Kinder die Höhe des Raumes?

2. Hintergrundwissen: Was sind Stützpunktvorstellungen?

Stützpunktvorstellungen sind realistische, alltagstaugliche Vorstellungen zu Größen und Größenbegriffen. Sie gelten als wesentliche Voraussetzung für die Anwendung von Mathematik im Allgemeinen (vgl. Grund 1992) und für alltagstaugliches Schätzen im Besonderen (vgl. Peter-Koop 2001). So können Stützpunktvorstellungen beispielsweise zum Lösen von Sachaufgaben abgerufen werden (Beispiel: 1kg entspricht einer Packung Mehl) oder herangezogen werden, um die erfragte Raumhöhe zu ermitteln, wie es auch einige Kinder im Einstiegsvideo machen. Die Schüler nutzen dafür verschiedene mentale Repräsentanten wie beispielsweise die Länge eines Schrittes.

Im Lehrplan NRW sind die Stützpunktvorstellungen im inhaltsbezogenen Bereich „Größen und Messen" verortet. Als Leitidee gilt dort:

„die Schülerinnen und Schüler entwickeln und nutzen tragfähige Größenvorstellungen ebenso wie einen Grundbestand an Kenntnissen und Fertigkeiten beim Umgang mit Größen und bei der Bearbeitung von Sachproblemen aus der Lebenswirklichkeit" (MSW NRW 2008, S. 58).

Im Folgenden soll der Begriff der Stützpunktvorstellungen nun vertiefend am Beispiel von Längen erklärt werden.

Das Ausnutzen von Stützpunktvorstellungen meint vollständig verinnerlichtes Messen mit mentalen Bildern nicht-normierter Messinstrumente (z.B. ein Schritt als Repräsentant für 1m), die in mentaler Beziehung zu normierten Längenmaßen gesetzt werden (vgl. Nührenbörger 2002, S. 45). Wie Sie im Einstiegsvideo sehen können, ermittelt Samuel die Raumhöhe mithilfe seiner Vorstellung von der Größe einer Tafel.

Samuel

(3:17)

Eine Tafel ist 1m lang und wenn man (zählt leise vor sich hin) 4m.

Eine Tafel ist 1m hoch. Also so bis hier (zeigt die Höhe vom Fußboden mit seiner Hand) und wenn das vier sind..hm..vier Tafeln sind, ist es also 4m hoch.

Er verknüpft also die Länge des zu schätzenden Objektes (Höhe des Raumes) mit einer normierten Einheit (Meter) und drückt die Raumhöhe dann in einer konventionellen Einheit aus.

Stützpunktvorstellungen im Bereich Längen entwickeln sich, indem mental Maßzahlen mit bekannten Objekten, Strecken oder Entfernungen zwischen zwei Punkten verknüpft werden. Für die Ermittlung der Raumhöhe benötigen die Schüler Stützpunktvorstellungen zur Längeneinheit Meter. Im Einstiegsvideo wird deutlich, dass Stützpunktvorstellungen individuell sehr verschieden sein können. So haben David, Murat und Martin die Größe einer Tür als Stützpunktvorstellung für die Einheit Meter entwickelt, die sie für die Ermittlung der Raumhöhe nutzen, während anderen Schülern die Vorstellung einer Tafel, eines Schrittes oder der Höhe des Tisches dabei hilft.

Weitere mögliche Stützpunktvorstellungen finden sich in Schulbüchern häufig in Form von Übersichten, in denen den einzelnen Einheiten bestimmte Gegenstände zugeordnet werden. Eine Übersicht aus dem Zahlenbuch 4 soll hier exemplarisch dargestellt werden:

(Abb. entnommen aus: „Das Zahlenbuch 4": Müller & Wittmann 2002, S. 1)

Auch beim Schätzen spielen Stützpunktvorstellungen eine wichtige Rolle. Hier können Sie mehr dazu lesen.

3. Welche Vorstellungen besitzen Kinder zu Längen?

Im Folgenden soll sowohl ein Einblick in die Vielfalt der individuell verschiedenen Kindervorstellungen zu Längen ermöglicht werden als auch verdeutlicht werden, dass Kinder teilweise abhängig vom Aufgabenkontext unterschiedliche Stützpunktvorstellungen abrufen und anwenden.

3.1 Abrufen von Stützpunktvorstellungen

a) Kindervorstellungen zu 1cm

In Schulbüchern und in der didaktischen Literatur findet man als typische Beispiele für Stützpunkte zur Einheit 1cm sehr häufig die Breite eines Fingers (siehe auch die Abbildung oben).

Die folgenden Schülerdokumente zeigen, dass die befragten Schüler noch diverse andere Vorstellungen von Gegenständen besitzen, die 1cm lang sind.
Allerdings ist zu beachten, dass einige Gegenstände von den Schülern notiert wurden, nachdem sie diese im Raum entdeckt haben. Die Unterscheidung zwischen vorhandenen Stützpunktvorstellungen und Dingen, die der vorgegebenen Länge zugeordnet werden können, ist nicht immer ganz eindeutig.

b) Kindervorstellungen zu 10cm

In Schulbüchern ist häufig das Körpermaß in Form einer Handspanne eines Kindes als Stützpunktvorstellung für die Einheit 10cm zu finden.
Die folgende Grafik zeigt Ihnen weitere Vorstellungen der Kinder.

c) Kindervorstellungen zu 1m

Die Breite einer Tür, die Länge eines Regenschirmes, die Armspanne oder ein großer Schritt sind typische Beispiele für Stützpunkte zu 1m in Schulbüchern.
Wie Sie bereits im Einstiegsvideo sehen konnten, nutzten die Schüler verschiedene Stützpunktvorstellungen zur Einheit Meter, um die Höhe des Raumes zu ermitteln. Als ihnen zu einem späteren Zeitpunkt des Interviews die Frage „Was ist ungefähr 1m lang?" gestellt wurde, wurden zur Einheit Meter nur relativ wenige Stützpunktvorstellungen explizit genannt. Es scheint einen Unterschied zu machen, ob Stützpunktvorstellungen genutzt werden, um einen mentalen Messvorgang durchzuführen oder ob diese Stützpunktvorstellungen explizit genannt werden sollen.

3.2 Anwendungen von Stützpunktvorstellungen

Die Größe eines Menschen stellt eine weitere Stützpunktvorstellung vieler Kinder dar, die genutzt werden kann, um Längen von größeren Gegenständen zu ermitteln.

Schauen Sie sich an, wie die Kinder die Aufgabe lösen und achten Sie auf Gemeinsamkeiten und Unterschiede.

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4. Wie bilden sich Stützpunktvorstellungen?

Benennen Sie Situationen, in denen Kinder

a) innerhalb des Schulunterrichts und
b) außerschulisch

Erfahrungen im Bereich Längen sammeln können.

Stützpunktvorstellungen werden aufgebaut, indem konkret erlebte Handlungen allmählich verinnerlicht werden. Inhalt und Aufbau der Vorstellungen hängen dabei von konkreten und zufälligen Wahrnehmungen des Individuums und seiner spezifischen Auseinandersetzung mit der Umwelt ab.

Dadurch entwickeln unterschiedliche Kinder auch unterschiedliche Vorstellungen. Im Einstiegsvideo konnten Sie bereits sehen, welche verschiedenen Stützpunktvorstellungen zur Längeneinheit Meter vorhanden sind.

Einige Stützpunktvorstellungen werden im Unterricht gebildet, indem sie dort explizit thematisiert werden. Die Schüler Murat und Jasmin berichten von ihren Erfahrungen, die sie im Unterricht gesammelt haben.

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Murat

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Jasmin

Stützpunktvorstellungen können aber auch auf Erfahrungen im Alltag basieren. So berichtet beispielsweise Max von seinem Ein-Meter-Schritt, den er in der Situation eines Umzuges kennengelernt und angewendet hat. Weitere Schüler erwähnen, dass sie den Ein-Meter-Schritt beim Fußball nutzen.

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Max

Die außerschulischen Erfahrungen können schließlich in unterrichtlichen Aktivitäten aufgegriffen und vertieft werden, da es ein Ziel des Unterrichts ist, an die „gemachten Handlungserfahrungen anzuknüpfen, die Kenntnisse über Größen zu vertiefen und das Wissen der Schüler über den Umgang mit Größen zu verfeinern“ (Radatz u.a. 1999, S. 197).

Ruwisch und Schaffrath (2010) beispielsweise schlagen in diesem Zusammenhang vor, im Unterricht das Thema „Zootiere" zu nutzen, um Größen zu thematisieren und von den Schülern zu den Zahlangaben passende Vergleichsgrößen finden zu lassen, die von Vergleichsgrößen im Klassenraum (z. B. „Der 2 Meter lange Hals der Giraffe (ist) ungefähr so hoch wie eine Tür") bis hin zu kreativen Vergleichsgrößen außerhalb des Klassenraums (z. B. „Unser Haus hat zwei Stockwerke und kein Dach. Dann kann ich, wenn ich bei mir oben aus dem Zimmer gucke, eine Giraffe füttern.") reichen (vgl. Ruwisch & Schaffrath 2010, S. 12).

5. Schwierigkeiten mit mittelbaren Längenvorstellungen

Längenvorstellungen können in zwei Kategorien eingeordnet werden.

Unmittelbare Längenvorstellungen sind durch situative materielle Handlungen beschreibbar: 1cm kann beispielsweise mithilfe des Daumennagels und 1m mithilfe eines großen Schrittes dargestellt werden.

Mittelbare Längenvorstellungen müssen dagegen auf der sprachlich-symbolischen Ebene beschrieben werden, da sie entweder sehr groß oder sehr klein sind. Das bedeutet, dass 1km beispielsweise nicht mehr durch eine Handlung wiedergegeben werden kann. Stattdessen muss ein verbaler Ausdruck dafür gefunden werden, wie beispielsweise die Entfernung von der Schule zum Bahnhof (vgl. Nührenbörger 2002).

In den folgenden Videos können Sie sehen, wie Viertklässler dieser Schwierigkeit am Beispiel von Stützpunktvorstellungen zu Kilometern begegnen.

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Das Bilden von mittelbaren Längenvorstellungen stellt, wie die Beispiele gezeigt haben, noch eine zusätzliche Herausforderung an das Vorstellungsvermögen der Kinder dar. Dies sollte im Unterricht berücksichtigt und mit den Kindern thematisiert werden.

6. Verwandte Themen

Überschlagsrechnen
Zeitungsmathematik

 

Auf der Website des Projekts PIK AS finden Sie in Haus 7 'Gute Aufgaben' weitere Informationen sowie Fortbildungs- und Unterrichtsmaterial zum Inhaltsbereich 'Größen und Messen'.

 

7. Material

Interviewleitfaden Stützpunktvorstellungen

8. Zitierte Literatur

Grund, K. - H. (1992). Größenvorstellungen - eine wesentliche Voraussetzung beim Anwenden von Mathematik. In: Grundschule. H. 12, S. 42-44.

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW (Hrsg.) (2008). Lehrplan Mathematik für die Grundschulen des Landes NRW. Verfügbar unter: http://www.schulentwicklung.nrw.de/lehrplaene/upload/lehrplaene_download/grundschule/grs_faecher.pdf (Abruf am: 13.07.2011)

Müller, G. N. & Wittmann, E. Ch. (2002). Das Zahlenbuch 4. Leipzig: Klett.

Nührenbörger, M. (2002). Denk- und Lernwege von Kindern beim Messen von Längen. Theoretische Grundlegung und Fallstudien kindlicher Längenkonzepte im Laufe des 2. Schuljahres. Hildesheim: Franzbecker.

Peter-Koop, A. (2001). Authentische Zugänge zum Umgang mit Größen. In: Die Grundschulzeitschrift. H. 14, S. 6-11.

Radatz, H.; Schipper,W.; Dröge, R. & Ebeling, A. (1999). Handbuch für den Mathematikunterricht 3. Schuljahr. Hannover: Schroedel.

Ruwisch, S. & Schaffrath, S. (2009). Fragenbox Mathematik. Kann das stimmen? Donauwörth 2009.

Ruwisch, S. & Schaffrath, S. (2010). Passende Vergleichsgrößen finden. In: Grundschule Mathematik. H. 24, S. 10-15.

 

9. Weiterführende Literatur

Bönig, D (2003). Schätzen - der Anfang guter Aufgaben. In: S. Ruwisch & A. Peter-Koop (Hrsg.): Gute Aufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule. Offenburg: Mildenberger, S. 102-110.