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Halbschriftliche Multiplikation: Strategien und Fehlermuster

Die halbschriftliche Multiplikation ist ab dem 3. Schuljahr ein wichtiges Thema des Mathematikunterrichts. Im Rahmen ihrer Bachelorarbeiten haben sich Hofemann & Rautenberg (2010) sowie Benner & Steinbach (2010) deshalb mit verschiedenen Vorgehensweisen und typischen Fehlern bei der halbschriftlichen Multiplikation auseinandergesetzt. Auf der folgenden Seite stellen die vier Studierenden ihre wesentlichen Ergebnisse vor und illustrieren diese anhand vieler Schülerdokumente, die im Rahmen ihrer Arbeit entstanden sind.

1. Drittklässler rechnen die Aufgabe 16·15
2. Hintergrundwissen zum halbschriftlichen Rechnen
3. Hauptstrategien der halbschriftlichen Multiplikation
4. Typische Fehler

4.1. Stellenweise (z.B. am Malkreuz)
4.2. Schrittweise
4.3. Vereinfachen
4.4. Hilfsaufgabe
5. Schüler erklären Strategien anderer Schüler
6. Verwandte Themen
7. Material
8. Zitierte Literatur
9. Weiterführende Literatur

1. Drittklässler rechnen die Aufgabe 16·15

Bereits vor der Thematisierung der Multiplikation von zwei zweistelligen Zahlen wurde Kindern des 3. Schuljahres die Aufgabe 16·15 gestellt. Dabei fielen u.a. die Vorgehensweisen von Lars und Kirsten auf.

1. Analysieren und erläutern Sie die Vorgehensweisen beider Kinder.

2. Welchen typischen Fehler macht Kirsten und wo liegt möglicherweise die Ursache für diesen Fehler?

Lars

Kirsten

Hier finden Sie eine mögliche Erklärung.

2. Hintergrundwissen zum halbschriftlichen Rechnen

Das halbschriftliche Rechnen ist im Unterschied zu den Standardalgorithmen ein flexibles Rechnen, bei dem der Weg zur Lösung nicht vorgeschrieben ist, wobei die „Besonderheiten der vorliegenden Zahlen ausgenutzt" (Padberg & Benz 2010, S. 170) und jeweils passende Rechenstrategien eingesetzt werden. Anders als beim Kopfrechnen werden hier die Zwischenschritte, Zwischenrechnungen und die Zwischenergebnisse schriftlich fixiert. Jedoch sind Art und Weise der Notation dabei nicht festgelegt.

Weitere Informationen zum Stellenwert des halbschriftlichen Rechnens finden Sie auf der Seite zur halbschriftlichen Addition.

Lösen Sie die Aufgaben 5∙44 und 9∙19 halbschriftlich auf verschiedenen Wegen und beschreiben Sie jeweils Ihren Rechenweg.

Finden Sie möglichst viele Strategien zum Lösen der Aufgaben.

3. Hauptstrategien der halbschriftlichen Multiplikation

Im Folgenden werden die Hauptstrategien der halbschriftlichen Multiplikation exemplarisch vorgestellt und anhand von Schülerdokumenten aus der Bachelorarbeit von Hofemann & Rautenberg (2010) illustriert.

Die Auswertung der Studie im Rahmen o.g. Bachelorarbeit zeigte, dass die Kinder meist sehr unflexibel im Umgang mit den unterschiedlichen Strategien sind und sich fast ausnahmslos auf die Strategie „Schrittweise" beschränken (ca. 75 % der Schüler). Oft kann man aber auch Mischformen der folgenden Strategien vorfinden.

Strategie Beschreibung Beispiel
1. Stellenweise (z.B. am Malkreuz) Beide Faktoren werden in ihre Stellenwerte zerlegt und können entweder als Teilaufgaben unter dem Strich oder im Malzeichen notiert werden. Die Teilergebnisse werden dann entweder nebeneinander oder untereinander addiert, um das Endergebnis zu erhalten.

2. Schritweise Bei der Vorgehensweise „Schrittweise" wird nur ein Faktor in seine Stellenwerte zerlegt. Dies ist meist (aber nicht zwingend) der zweite Faktor, der dann schrittweise mit dem ersten Faktor multipliziert wird. Die Teilergebnisse werden anschließend addiert, um das Endergebnis zu erhalten.
3. Vereinfachen Bei der Anwendung der Strategie „Vereinfachen" werden beide Faktoren nach dem Gesetz der Konstanz des Produktes gegensinnig verändert: Verdoppelt/Verdreifacht/... man den einen Faktor, muss man den anderen halbieren/dritteln/usw. Nur so bleibt das Endergebnis unverändert.
4. Hilfsaufgabe Wendet man die Strategie „Hilfsaufgabe" an, notiert man sich zunächst als Nebenrechnung eine Hilfsaufgabe, die leichter zu berechnen ist, als die vorgegebene. Aus dieser Nebenrechnung kann das Ergebnis dann abgeleitet werden. In der Regel wird bei dieser Strategie nur ein Faktor verändert.
  • Ordnen Sie Ihre eigenen Rechenwege der Aufgaben 5∙44 und 9∙19 in die halbschriftlichen Strategien ein und begründen Sie Ihre Zuordnung!
  • Ordnen Sie dann folgende Schülerlösungen den oben genannten Strategien zu!

 

Hier finden Sie eine mögliche Zuordnung.

4. Typische Fehlermuster der vier Hauptstrategien

Jede Strategie birgt viele mögliche Fehlerquellen, die sich sowohl bei der Übertragung der Strategie auf verschiedene Aufgaben als auch bei der Bearbeitung ergeben.

Benner & Steinbach (2010) haben im Rahmen ihrer Bachelorarbeit Kindern aus vierten Klassen Aufgaben zu halbschriftlichen Multiplikationsstrategien vorgelegt. Den Kindern wurde eine Strategie vorgegeben und an einem Beispiel erklärt. Jede Strategie wurde von jeweils ca. 60 Kindern bearbeitet und sollte auf drei weitere Aufgaben eigenständig übertragen werden.

Die entstandenen Schwierigkeiten und Probleme bei der Übertragung und Bearbeitung der einzelnen Strategien werden im Folgenden näher betrachtet.

Es ist bei vielen Schülerlösungen nicht immer möglich einen eindeutigen Fehlertyp zu bestimmen. Um eine Fehlerauswertung vornehmen zu können, wurden die Fehler nach intensiver Analyse dennoch in Kategorien eingeteilt und die Dokumente entsprechend zugeordnet, bei einigen Dokumenten wäre sicher auch die Zuordnung zu einer anderen Kategorie denkbar gewesen.

4.1. Stellenweise (z.B. am Malkreuz)

Von den insgesamt 171 Aufgaben, die die Kinder mit der Strategie ‚Stellenweise‘ lösen sollten, konnten insgesamt 68 Aufgaben (40%) korrekt berechnet werden (unter „korrekt" fielen hier und auch bei den folgenden Strategien alle Bearbeitungen, die unter Anwendung der vorgegebenen Strategie zu einem richtigen Ergebnis geführt haben). 2% der Aufgaben wurden nicht bearbeitet. Bei den weiteren Aufgabenbearbeitungen konnten folgende Fehlertypen beobachtet werden:

Fehlertyp Fehlerbeschreibung Anzahl in Prozent
Multiplikationsfehler Strategie wird richtig angewandt, durch Rechenfehler entsteht ein falsches Ergebnis. 26%
Additionsfehler Strategie wird richtig angewandt, durch Rechenfehler entsteht ein falsches Ergebnis. 13%
Notationsfehler Eine Zahl wurde bspw. falsch abgeschrieben. 7%
Fehlerhafte Faktorzerlegung Ein oder beide Faktoren werden falsch zerlegt, darunter fällt auch, wenn nicht alle Teilprodukte bestimmt wurden. 12%
Analysieren Sie die folgenden Schülerdokumente:
  • Welche der o.g. Fehlertypen lassen sich beobachten?
  • Welche Schülerdokumente lassen eine andere Deutung der Vorgehensweise zu? Begründen Sie.

a) 42·60

c) 56·34

e) 42·60

b) 56·34

d) 12·39

f) 56·34

4.2. Schrittweise

Von den insgesamt 183 Aufgaben zur Strategie ‚Schrittweise‘ konnten 79 Ergebnisse (43%) fehlerfrei gelöst werden, 6% wurden nicht bearbeitet. Bei den restlichen Bearbeitungen ließen sich folgende Fehler beobachten:

Fehlertyp Fehlerbeschreibung Anzahl in Prozent
Multiplikationsfehler Strategie wird richtig angewandt, durch Rechenfehler entsteht ein falsches Ergebnis. 24%
Additionsfehler Strategie wird richtig angewandt, durch Rechenfehler entsteht ein falsches Ergebnis. 8%
Notationsfehler Eine Zahl wurde bspw. falsch abgeschrieben. 4%
Fehlerhafte Faktorzerlegung Ein oder beide Faktoren werden falsch zerlegt, darunter fällt auch, wenn nicht alle Teilprodukte bestimmt wurden. 15%
Analysieren Sie die folgenden Schülerdokumente:
  • Welche der o.g. Fehlertypen lassen sich beobachten?
  • Welche Schülerdokumente lassen eine andere Deutung der Vorgehensweise zu? Begründen Sie.

a) 43·21

c) 43·21

e) 12·19

b) 9·56

d) 9·56

f) 12·19

4.3. Vereinfachen

Es wurden zu dieser Strategie insgesamt 171 Aufgaben bearbeitet. Davon wurden 68 Aufgaben (40%) richtig gelöst und immerhin 24% der Aufgaben wurden gar nicht bearbeitet, was ein Zeichen dafür sein kann, dass ‚Vereinfachen‘ den Kindern schwer fällt. Bei den weiteren 36% der Aufgabenbearbeitungen ließen sich folgende Fehler erkennen:

Fehlertyp Fehlerbeschreibung Anzahl in Prozent
Multiplikationsfehler Strategie wird richtig angewandt, durch Rechenfehler entsteht ein falsches Ergebnis. 11%
Halbierungs- / Verdopplungsfehler z.B. beide Faktoren werden anstatt gegensinnig gleichsinnig verändert oder das Doppelte/ die Hälfte wird falsch bestimmt. 11%
Nur ein Faktor verändert Nur ein Faktor wird halbiert/verdoppelt, der andere bleibt unverändert. 6%
Faktoren unvorteilhaft verändert Faktoren werden so verändert, dass die Aufgabe zwar korrekt verändert, aber aus Erwachsenensicht nicht unbedingt einfacher gemacht wird, was im Folgenden zu Rechenfehlern führt. 6%
Notationsfehler Eine Zahl wurde bspw. falsch abgeschrieben. 2%
Analysieren Sie die folgenden Schülerdokumente:
  • Welche der o.g. Fehlertypen lassen sich beobachten?
  • Welche Schülerdokumente lassen eine andere Deutung der Vorgehensweise zu? Begründen Sie.

a) 35·12

c) 18·15

e) 35·12

b) 12·19

d) 18·15

 

4.4. Hilfsaufgabe

Von den insgesamt 183 gestellten Aufgaben zur Strategie ‚Hilfsaufgabe‘ erhielten wir 71 (38%) richtige Ergebnisse, 9% wurden nicht bearbeitet. Bei 53% entstanden verschiedene Fehler. Die fehlerhaften Dokumente, die den Eindruck vermittelten, dass diese Strategie nicht (vollständig) verstanden wurde, sind unter dem Fehlertypen ‚Strategiefehler‘ zusammengefasst.

Fehlertyp Fehlerbeschreibung Anzahl in Prozent
Multiplikationsfehler Strategie wird richtig angewandt, durch Rechenfehler entsteht ein falsches Ergebnis. 17%
Subtraktionsfehler Strategie wird richtig angewandt, durch Rechenfehler entsteht ein falsches Ergebnis. 10%
Notationsfehler Eine Zahl wurde bspw. falsch abgeschrieben. 5%
Strategiefehler Vorgegebene Strategie wurde nicht oder falsch angewandt bzw. übertragen. 21%
Analysieren Sie die folgenden Schülerdokumente:
  • Welche der o.g. Fehlertypen lassen sich beobachten?
  • Welche Schülerdokumente lassen eine andere Deutung der Vorgehensweise zu? Begründen Sie.

a) 18·13

c) 29·12

e) 18·13

b) 29·12

d) 15·39

 
Hier finden Sie eine mögliche Analyse der Schülerdokumente.

5. Schüler erklären Strategien anderer Schüler

Ziel des Unterrichts ist es nicht nur, dass die Kinder die einzelnen Strategien sicher anwenden können, sondern auch, ob und wie sie Lösungen anderer Schüler nachvollziehen und erklären können. Im Folgenden sehen Sie Beispiele, wie Kinder die Rechenwege anderer Kinder erklären.

1. Analysieren Sie die Schülerdokumente. Welche Kinder verstehen die Beispiele und können sich ausdrücken, welchen Kindern fällt dies schwer? Warum ist das vielleicht so? Ordnen Sie die Kinder außerdem nach ihrem vermutlichen Leistungsstand!

2. Würden Sie ähnliche Aufgaben im Unterricht einsetzen? Nennen Sie Vor- und Nachteile von solchen Aufgaben und begründen Sie Ihre Antwort!

Florian:

Phillip:

Diana:

Lisa:

 

Hier finden Sie eine mögliche Analyse der Schülerdokumente.

6. Verwandte Themen

Schriftliche Multiplikation
Halbschriftliche Addition
Halbschriftliche Subtraktion
Halbschriftliche Division

Die meisten Erwachsenen kennen aus der Schule entweder nur die schriftlichen Rechenverfahren oder nutzen im Alltag intuitiv halbschriftliche Vorgehensweisen. Als Lehrperson mit dem Fach Mathematik sollten Sie allerdings die große Vielfalt halbschriftlicher Rechenverfahren kennen und im Unterricht mit Blick auf die individuellen Vorlieben der Lernenden für die eine oder andere Strategie thematisieren. Das stellt fachfremd Unterrichtende vor einer großen Herausforderung, da sie selbst in ihrer damaligen Schulzeit nur auf die schriftlichen Rechenverfahren eingetrimmt wurden. Besuchen Sie deshalb die Homepage des Projekts PriMakom („Primarstufe Mathematik kompakt“). Dabei handelt es sich in erster Linie um eine Selbstlernplattform für Lehrerinnen und Lehrer, die Mathematik fachfremd unterrichten und sich somit fachdidaktische Kenntnisse in kompakter Form aneignen möchten. Dort erhalten Sie kompakte Hintergrundinformationen sowie unterrichtspraktische Hinweise zu den halbschriftlichen Rechenstrategien.

 

7. Material

Arbeitsblatt

8. Zitierte Literatur

Benner, C. & Steinbach, M. (2010). Entwicklung und Erprobung von Lernmaterialien für Studierende zum Thema: "Halbschriftliche Multiplikation". Unveröffentlichte Bachelorarbeit. TU Dortmund.

Hofemann, L. & Rautenberg, F. (2010). Entwicklung und Erprobung von Lernmaterialien für Studierende zum Thema: Halbschriftliche Multiplikation. Unveröffentlichte Bachelorarbeit: TU Dortmund.

Padberg, F. & Benz, Ch. (2011). Didaktik der Arithmetik. Für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung (4. erweiterte, stark überarbeitete Auflage). München: Spektrum Akademischer Verlag.

9. Weiterführende Literatur

Höhtker, B. & Selter, C. (1999). Normal verfahren? Schüler reflektieren über Rechenmethoden. In: Die Grundschulzeitschrift. H. 125. S. 19-21.

Krauthausen, G. (1998). Lernen - lehren - Lehren lernen. Leipzig: Klett

Wittmann, E. Ch. (1999). Die Zukunft des Rechnens im Grundschulunterricht: Von schriftlichen Rechenverfahren zu halbschriftlichen Strategien. In: E. Hengartner (Hrsg.): Mit Kindern lernen. Standorte und Denkwege im Mathematikunterricht. Zug: Klett.

© Carina Benner, Lena Hofemann, Franziska Rautenberg und Maren Steinbach für das KIRA-Team