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Operationsverständnis der Multiplikation

Die Multiplikation stellt eine der vier Grundrechenarten der Mathematik dar. Hier sollen Beispiele für die Bearbeitung von unterschiedlichen Aufgabenformaten dieser Grundrechenarten präsentiert werden. Die beschriebenen Aufgaben wurden von Kindern der zweiten und dritten Klasse bearbeitet und sind in Anlehnung an eine Standortbestimmung zur Multiplikation von Akinwunmi, Deutscher & Mosandl (2014) konzipiert. Alle Kinder hatten im schulischen Kontext bereits Kontakt zu Multiplikationsaufgaben, sodass es sich hier um eine Standortbestimmung der Lösungsstrategien zu dieser Grundrechenart handelt. Auf dieser Seite soll die Vielfältigkeit möglicher Herangehensweisen an Multiplikationsaufgaben präsentiert werden und den Leserinnen und Lesern die Möglichkeit geboten werden, das Operationsverständnis der Kinder zu analysieren.

1. Multiplikation und Würfel

Betrachten Sie die Schülerlösungen zur Aufgabe Zeichne ein Würfelbild, das zur Aufgabe 5 · 2 = 10. Welche Kompetenzen zeigen die Kinder und wo entdecken Sie potentielle Schwierigkeiten?

Ani

Lin

Tom

Claas

Saeed

Emma

Talea

Kim

Dominik

 

2. Grundvorstellungen der Multiplikation

In diesem Abschnitt sollen die Grundvorstellungen der Multiplikation in kurzer und prägnanter Form vorgestellt werden. Bei der Multiplikation können drei Grundvorstellungen unterschieden werden (Padberg & Benz 2011, 128-131): zeitlich-sukzessive Handlungen, räumlich-simultane Anordnungen und kombinatorischer Kontext.

Zeitlich-sukzessive Handlungen

Dieses Bild soll die zeitlich-sukzessive Handlung der Multiplikation verdeutlichen. Schrittweise (sukzessiv) wird durch die Wiederholung einer Handlung (vier Mal drei Luftballons aufhängen) das Produkt erreicht. Der Zusammenhang zur schrittweisen Addition wird bei dieser Grundvorstellung sehr deutlich (Padberg & Benz 2011, 129). Entstandene Rechengeschichten zu diesem Bild finden Sie in Kapitel 4.

Räumlich-simultane Anordnung

Das Bild der Schokoladentafel repräsentiert die räumlich-simultane Grundvorstellung der Multiplikation. Diese Darstellungsform ist zum Beispiel hinsichtlich der Erklärung von Rechengesetzen, wie des Kommutativgesetzes, hilfreich (Akinwunmi, Deutscher & Selter 2014, 78). Das gesamte Produkt ist an der Darstellung abzulesen, da es möglich ist, die Anzahl aufgrund der räumlichen Anordnung zu erfassen. Auch hier ist eine wiederholte Addition als Lösungsstrategie zur Errechnung des Produktes möglich.

Die beiden erstgenannten Grundvorstellungen sind eng miteinander verknüpft. So ist das Endprodukt einer zeitlich-sukzessiven Handlung eine räumlich-simultane Anordnung und umgekehrt kann eine solche Anordnung in eine zeitlich-sukzessive Handlung umgewandelt werden (Padberg & Benz 2011, 130).

Kombinatorischer Kontext

Einen weiteren Zugang zur Multiplikation stellt die Kombinatorik dar. Eine klassische Aufgabenstellung für diese Grundvorstellung ist zum Beispiel: „Wie viele Menüs kann ein Mensch zusammenstellen, der aus drei Vorspeisen, zwei Hauptmenüs und drei Nachspeisen wählen kann?“ Graphisch ließe sich die Aufgabe wie in der untenstehenden Abbildung lösen. Die dazugehörige Multiplikation würde 3 · 2 · 3 = 18 lauten.

Im Gegensatz zu den anderen beiden Grundvorstellungen weist dieser Zugang diverse Nachteile auf, zum Beispiel in Hinblick auf den nicht direkt ersichtlichen Zusammenhang zur Division. Weiterhin ist er durch einen engen Anwendungsbezug und eine geringe Möglichkeit der Verwendung von Anschauungsmitteln begrenzt, weshalb Padberg und Benz (2011, 130) zu dem Schluss kommen, dass dieser Zugang nicht unbedingt zur Einführung in diese Grundrechenart verwendet werden sollte. Dies bedeutet allerdings nicht, dass er als Teil der unterrichtlichen Praxis ausgeschlossen werden sollte, sondern im weiteren Verlauf der Multiplikation thematisiert werden sollte.

 

3. Vorstellung von Multiplikationsaufgaben am Zahlenstrahl

1. Lösen Sie zunächst die Multiplikationsaufgaben am Zahlenstrahl.

2. Versuchen Sie daraufhin, die Lösungen der Kinder nachzuvollziehen. Können Sie dabei Chancen und Schwierigkeiten feststellen, die mit dem Zahlenstrahl als Anschauungsmittel verbunden sind?
 

1) Schreiben Sie zu dem Zahlenstrahl-Bild eine passende Aufgabe auf.

2) Zeichnen Sie zu der Mal-Aufgabe 6 · 3 ein passendes Bild in den Zahlenstrahl:
Clark
 
  Mira
Annabel
 
  Jassin
Luca
 
  Christin
Julie
 
Marvin
Lioba
Tim
Dana
Theresa
 
Hier finden Sie Interpretationsvorschläge zu den einzelnen Lösungen der Kinder hinsichtlich der Fragestellungen.
Mal-Aufgabe zur Darstellung am Zahlstrahl Interpretation der Lösung
Clark
Beide Faktoren werden von Clark im intendierten Sinn von der Darstellung am Zahlenstrahl abgelesen.
Annabel
Hier wird nur ein Faktor betrachtet. Der 2. Faktor könnte sich beispielsweise aus der Anzahl der Bögen bis zur ersten sichtbaren Zahl ergeben. Möglicherweise ist für Annabel die Multiplikation am Zahlenstrahl noch nicht so geläufig, sodass diese mit ihr erneut thematisiert werden müsste. Das könnte vielleicht auch im Zusammenhang mit anderen Grundrechenarten insbesondere der Addition geschehen.
Mira
Mira liest den 2. Faktor entsprechend der beabsichtigten Weise ab und integriert ihn in ihre Multiplikation. Als Multiplikator wird von Mira möglicherweise die erste sichtbare Zahl >1 verwendet. Möglich wäre auch, dass sie versucht in der Multiplikationsaufgabe die sichtbaren Zahlen >1 in eine Multiplikationsaufgabe zu integrieren. Es ist ersichtlich, dass sie Schwierigkeiten hat die Muster und Strukturen des Zahlenstrahls auf die Multiplikation zu übertragen, sodass eine Wiederholung dieses Anschauungsmittel sinnvoll erscheint.
Jassin
Ähnlich wie die Antworten zuvor wird bei dieser Lösung ein Faktor (Multiplikator) entsprechend der Anzahl der Bögen verwendet. Der 2. Faktor könnte sich aus der Anzahl der übriggeblienenen Striche (von 15 bis zur 20) ergeben. Möglicherweise ist für Jassin die Multiplikation am Zahlenstrahl noch nicht so geläufig, sodass diese mit ihm erneut thematisiert werden müsste. Dies könnte vielleicht auch im Zusammenhang mit der Addition geschehen.
Luca & Christin

Bei diesen Rechnungen wird der Faktor Sieben von den Bögen abgeleitet. Der andere Faktor resultiert aus der Anzahl der Striche, die die einzelnen Bögen umfassen. Dabei werden scheinbar die Messstriche doppelt gezählt bei denen ein Bogen aufhört und ein neuer beginnt.
Julie
Der erste Faktor wird von Julie wahrscheinlich auf Basis der Anzahl der Bögen abgelesen, wobei ihr jedoch ein typischer Plus-Eins-Fehler unterläuft. Der zweite Faktor ergibt sich eventuell aus der präsenten Zahl am Zahlenstrahl. Möglicherweise ist Julie die Multiplikation am Zahlenstrahl noch nicht so geläufig.
Umsetzung der Mal-Aufgabe am Zahlenstrahl Interpretation der Zeichnung
Marvin
Marvin setzt die Aufgabenstellung im intendierten Sinn um und zeichnet beide Faktoren auf dem Zahlenstrahl ab.
Theresa
Theresa kann in ihrer Zeichnung beide Faktoren einzeichnen, wobei sie für den 2. Faktor eine falsche Darstellung wählt, da sie scheinbar die Striche doppelt zählt, bei denen ein Bogen aufhört und ein neuer beginnt. Hieraus folgt, dass in ihrer Darstellung der 2. Faktor auf zwei verringert wird. Dies deutet darauf hin, dass sie über ein Operationsverständnis der Multiplikation verfügt, allerdings ist ihr die Darstellung am Zahlenstrahl möglicherweise nicht geläufig. Ihre Strategie ist mit der von Lioba (siehe unten) zu vergleichen, wenngleich Lioba das Produkt einzeichnet und Theresa mit ihrer Darstellung die beiden Faktoren.
Tim
Tim stellt in seiner Zeichnung ausschließlich den 1. Faktor dar. Der zweite Faktor lässt sich aus der Zeichnung nicht ablesen, wodurch das Produkt auch nicht auf dem Zahlenstrahl zu erkennen ist.
Lioba
Lioba ist scheinbar bewusst, dass das Produkt der Multiplikation 18 ergibt. Allerdings verringert sie den 2. Faktor um eins, wodurch der 1. Faktor nicht korrekt eingezeichnet wird, da sie möglicherweise das Produkt korrekt darstellen möchte. Die Verringerung des 2. Faktors resultiert möglicherweise daraus, dass die Striche doppelt gezählt werden, bei denen ein Bogen aufhört und ein neuer beginnt.
Dana
In dieser Zeichnung ist deutlich zu erkennen, dass Dana den zweiten Faktor in den Fokus nimmt und diesen konsequent bis zum Ende des Zahlenstrahls abträgt. Dabei fasst sie immer drei Striche zu einer Art Bündel zusammen und lässt dadurch den ersten Faktor und das Produkt außen vor. Hätte sie den letzten Bogen nicht eingezeichnet, hätte sie mit ihrer Methode das Produkt am Zahlenstrahl ablesen können. Allerdings sollte mit ihr noch einmal besprochen werden, wie die Bögen bei ganzen Zahlen zu zeichnen sind.

Theoretisch bietet der Zahlenstrahl ein hohes Potential, die Multiplikation in einer linearen Form anschaulich darzustellen. Dies begründet sich u. a. in der Tatsache, dass der Zahlenstrahl bei vielen Schülerinnen und Schülern im schulischen Kontext bereits im Zusammenhang mit anderen Grundrechenarten thematisiert wurde. Weiterhin lassen sich das Produkt sowie beide Faktoren am Zahlenstrahl genau ablesen, was dazu beitragen kann, mentale Bilder der Multiplikation aufzubauen. Wie die Schülerlösungen zeigen, hat sich bei vielen ein Operationsverständnis ausgebildet, allerdings ist die Darstellung am Zahlenstrahl schwierig, wenn die Muster und Strukturen noch nicht vollständig internalisiert wurden. Dies bekräftigt die Aussage, dass die Muster und Strukturen von Anschauungsmittel immer auch entdeckt und erlernt werden müssen (Krauthausen & Scherer 2007, 245).

 

4. Rechengeschichten zur Multiplikation

In diesem Kapitel werden Rechengeschichten von Kindern zur Multiplikation vorgestellt, die zum einen auf Basis einer vorgegebenen Multiplikation und zum anderen auf Grundlage eines Bildes entstanden sind. Zunächst werden die Ergebnisse zur Rechengeschichte vorgestellt, in der die Multiplikation 6 · 5 beschrieben werden sollte; wobei den Kindern eine exemplarische Geschichte vorgegeben war. Dies ermöglichte den Schülerinnen und Schülern sich zu erinnern, was unter einer Rechengeschichte zu verstehen ist. Weiterhin wurde den Kindern die Möglichkeit geboten, eine eigene Geschichte zum Bild aus Kapitel 2.1 zu erfinden.

 

4.1 Eine Rechengeschichte zur Aufgabe 6 · 5

1. Erstellen Sie zunächst eine eigene Rechengeschichte zur Aufgabe 6 · 5.

2. Versuchen Sie daraufhin, die Rechengeschichte sowie die jeweiligen Fragen, Rechnungen und Antworten der Kinder nachzuvollziehen. Wo entdecken Sie Schwierigkeiten beim Operationsverständnis?

Anmerkung: Die Rechengeschichten wurden der Übersicht halber abgetippt und grammatikalisch sowie orthographisch korrigiert; die erstellten Fragen, Rechnungen und Antworten sind im Original abgebildet.
 

Erfundene Rechengeschichte der Kinder
Lena hat 6 Boxen. In jeder Box sind 5 Kugeln drin.
Lena hat 5 Murmeln und Julia hat 6 Lollis.
Friedrich hat 30 Spiele geladen.
Dieter hat 6 · 5 Tore insgesamt gemacht.
Hier finden Sie Interpretationsvorschläge zu den einzelnen Rechengeschichten der Kinder hinsichtlich der Fragestellungen.

 

4.2 Eine Rechengeschichte zur zeitlich-sukzessiven Vorstellung

1. Entwerfen Sie eine Rechengeschichte zur untenstehenden Abbildung.

2. Versuchen Sie, daraufhin die Rechengeschichte sowie die jeweiligen Fragen, Rechnungen und Antworten der Kinder nachzuvollziehen. Wo entdecken Sie Schwierigkeiten beim Operationsverständnis?

Erfundene Rechengeschichte der Kinder Frage, Multiplikation und Antwort der Kinder
Frau Müller will an ihre Leine Ballons hängen. Sie kauft 4 Bündel an der je drei Ballons befestigt sind.
Lisa hängt Luftballons auf.
Das Mädchen Trulla hängt 6 mal 3 Ballons auf
Finja hängt bunte Luftballons auf. Erst 3 dann wieder 3 dann wieder 3 dann wieder 3.
Lisa macht eine Party. Sie hängt Ballons auf. Und es sind immer drei gleiche Ballons.
Leonie macht eine Party und hat 4 · 3 Ballons aufgehängt.
Anna hängt die Luftballons auf die Leine. Sie hängt zuerst 3 auf und dann noch mal 3 und dann das noch mal zweimal.
Jana hat 3 Kisten. In jede Kiste passen 10 Fotos.
Mia hängt jeden Tag 3 Ballons auf, manchmal ist sie sehr erschöpft.
Hier finden Sie Interpretationsvorschläge zu den einzelnen Rechengeschichten der Kinder hinsichtlich der Fragestellungen.

 

5. Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division

Nehmen Sie sich kurz Zeit und denken Sie darüber nach, welche Multiplikations- und Divisionsaufgaben Sie im folgenden Punktefeld sehen.

In diesem Punktefeld sind sowohl die Multiplikationsaufgaben 4 · 7 = 28 und 7 · 4 = 28 als auch die Divisionsaufgaben 28 : 7 = 4 und 28 : 4 = 7 enthalten.

An diesem Beispiel ist ersichtlich, dass Multiplikation und Division zusammenhängen. Der Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division ist dabei nicht trivial. So können Divisionsaufgaben als Umkehraufgaben von Multiplikationsaufgaben verstanden werden (Radatz & Schipper 2006, 97). Trotz der Verknüpfung dieser beiden Grundvorstellungen sollte allerdings zunächst die Multiplikation eingeführt und darauf aufbauend die Division thematisiert werden (Padberg & Benz 2011, 152; Radatz & Schipper 2006, 81). So können Kinder mit Hilfe von Umkehraufgaben die Multiplikation auf die Division übertragen. Algebraisch lässt sich dies wie folgt darstellen:

a · x = c c : a = x (für a ≠ 0) (Radatz & Schipper 2006, 97)

 

6. Verwandte Themen

Multiplikation und Division: Lernstände und Entwicklungen
Bildliche Darstellung

Auf der Website des Projekts PIK AS finden Sie in Haus 9 'Lernstände wahrnehmen' weitere Materialien zum Thema 'Standortbestimmungen'.

7. Verwendetes Material

Die verwendete Standortbestimmung wurde in Anlehnung an Akinwunmi, Deutscher & Mosandl (2014) erstellt. Auszüge der Originalmaterialien sind unter folgendem Link unter den Materialien zum Förderbaustein N4 – Multiplikation und Division verstehen zu finden: http://mathe-sicher-koennen.dzlm.de/002.

 

8. Zitierte Literatur

Akinwunmi, K., Deutscher, T. & Mosandl, C. (2014). Standortbestimmungen (Diagnosebausteine). In C. Selter, S. Prediger, M. Nührenbörger & S. Hußmann (Hrsg.): Mathe sicher können - Handreichungen für ein Diagnose- und Förderkonzept zur Sicherung mathematischer Basiskompetenzen - Natürliche Zahlen (S. 163-184). Berlin: Cornelsen.

Akinwunmi, K., Deutscher, T. & Selter, C. (2014). Multiplikation und Division verstehen. In C. Selter, S. Prediger, M. Nührenbörger & S. Hußmann (Hrsg.): Mathe sicher können - Handreichungen für ein Diagnose- und Förderkonzept zur Sicherung mathematischer Basiskompetenzen - Natürliche Zahlen (S. 78-98 ). Berlin: Cornelsen.

Hefendehl-Hebeker, L. (1982): Zur Einteilung des Teilens in Aufteilen und Verteilen. In: Mathematische Unterrichtspraxis, 3 (1), S. 37-39.

Krauthausen G. & Scherer, P. (2007). Einführung in die Mathematikdidaktik. 3. Auflage. Heidelberg: Spektrum.

Padberg, F. & Benz, C. (2011). Didaktik der Arithmetik für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung. 4. erweiterte, stark überarbeitete Auflage. Heidelberg: Spektrum.

Radatz, H. & Schipper, W. u. a. (2006): Handbuch für den Mathematikunterricht. 2. Schuljahr. Braunschweig: Schroedel, S. 81-112.

 

9. Weiterführende Literatur

Bönig, D. (1995). Multiplikation und Division. Empirische Untersuchung zum Operationsverständnis bei Grundschülern. Münster: Waxmann.

 

Diese Seite wurde erstellt von Beatrice Dürdodt für das Projekt Kira.