Eine Initiative der
DTS_Logo_CB_3c_n.png
 

Operationsverständnis der Division

Die Division stellt eine der vier Grundrechenarten der Mathematik dar und wird im schulischen Kontext meistens nach der Behandlung von Addition, Subtraktion und Multiplikation thematisiert. Hier sollen Beispiele für die Bearbeitung von unterschiedlichen Aufgabenformaten dieser Grundrechenart präsentiert werden. Die beschriebenen Aufgaben wurden von Kindern der zweiten und dritten Klasse bearbeitet und sind in Anlehnung an eine Standortbestimmung der Division von Akinwunmi, Deutscher & Mosandl (2014) konzipiert. Alle Kinder hatten im schulischen Kontext bereits Kontakt zu Divisionsaufgaben, sodass es sich hier um eine Standortbestimmung der Lösungsstrategien zu dieser Grundrechenart handelt. Auf dieser Seite soll die Vielfältigkeit möglicher Herangehensweisen an die Division präsentiert werden und den Leserinnen und Lesern die Möglichkeit geboten werden, das Operationsverständnis der Kinder zu analysieren.

1. Welche Rechengeschichte passt zu diesen Bildern?

Nehmen Sie sich kurz Zeit und schauen Sie sich die Zeichnung von den Kindern an, die auf Basis einer Rechengeschichte entstanden sind. Wie glauben Sie könnte die Rechengeschichte gelautet haben?
Cem
Sara
   
Mia
Lars
   
Die Rechengeschichte, die als Basis für diese Bilder angesetzt wurde, lautete:

Drei Kinder teilen sich 15 Weintrauben. Jedes Kind bekommt gleich viele. Wie viele Weintrauben bekommt jedes Kind?

Schreibe eine passende Geteilt-Aufgabe auf:

Bei dieser Rechengeschichte mussten zwei Darstellungswechsel vollzogen werden: Zum einen musste der Text in einen Term bzw. eine symbolische Schreibweise umgewandelt werden, zum anderen musste der Text und der Term in ein Bild umgesetzt werden.

Eine inhaltliche Auseinandersetzung und Vertiefung zur Thematik der bildlichen Darstellung finden Sie hier.
Hier finden Sie eine mögliche Interpretation der Terme und Zeichnungen der Kinder.

 

2. Grundvorstellungen der Division

Bei der Division werden die zwei Grundvorstellungen Aufteilen und Verteilen unterschieden. Der Unterschied zwischen diesen beiden Grundvorstellungen sollte den Lehrkräften bewusst sein, damit sie adäquat auf die Rechenwege und Vorstellungen der Kinder eingehen können und diese in das Unterrichtsgeschehen integrieren können. Allerdings wird mittlerweile davon abgeraten, den Unterschied explizit im Unterrichtsgeschehen zu thematisieren (Hefendehl-Hebeke 1982, 37). Die tabellarische Darstellung soll Ihnen helfen, den Unterschied zwischen dem Auf- und Verteilen zu verinnerlichen.

  Aufteilen Verteilen
Gesamtmenge gegeben gegeben
Anzahl der Teilmengen gesucht gegeben
Elementzahl der Teilmengen gegeben gesucht
Versuchen Sie, die zwei folgenden Aufgabenstellungen den beiden Grundvorstellungen der Division zuzuordnen. Warum haben Sie sich für die entsprechende Grundvorstellung entschieden?

1. Drei Kinder teilen sich 15 Weintrauben. Jedes Kind bekommt gleich viele. Wie viele Weintrauben bekommt jedes Kind?

2. Es gibt 15 Weintrauben und ein paar Kinder. Jedes Kind soll fünf Weintrauben bekommen. Wie viele Kinder können Weintrauben bekommen, damit keine übrig bleibt?

Hier finden Sie eine mögliche Erklärung.

 

3. Vorstellung Divisionsaufgaben am Zahlenstrahl

1. Lösen Sie zunächst Aufgaben am Zahlenstrahl.

2. Versuchen Sie daraufhin die Lösungen der Kinder nachzuvollziehen. Können Sie dabei Chancen und Schwierigkeiten feststellen, die mit dem Zahlenstrahl als Anschauungsmittel verbunden sind?
 

1) Schreiben Sie zu dem Zahlenstrahl-Bild eine passende Division auf.

2) Zeichnen Sie zu der Division 15: 5 ein passendes Bild in den Zahlenstrahl:

  Gamse
 
Matts
  Halend
  Tim
 
Carmen
   
    Ali
  Emma
 
Hannes
Till
Lis
Karin
Deborah
Tamara
Hanna
 
Hier finden Sie Interpretationsvorschläge zu den einzelnen Lösungsvorschlägen der Kinder hinsichtlich der Fragestellungen.

Der Zahlenstrahl bietet eine Möglichkeit, Divisionsaufgaben an einer linearen Darstellungsform zu erarbeiten. Weiterhin kann die Darstellung auf dem Zahlenstrahl die Kinder unterstützen, mentale Bilder der Operationen aufzubauen. In den meisten Fällen haben die Kinder im schulischen Kontext bereits Kontakt zum Zahlenstrahl gehabt, wenn Additions- und Subtraktionsaufgaben gelöst wurden. Allerdings werden die Operationen bei einer Division anders dargestellt als bspw. bei der Multiplikation. Welche Bedeutung Dividend, Divisor und Quotient haben, sollten die Kinder durchdrungen haben. Ebenfalls erscheint es wichtig, mit den Kindern die Muster und Strukturen des Anschauungsmittels zu entdecken, um die Operationen an diesem Anschauungsmittel darstellen zu können.

 

4. Rechengeschichten zur Division

In der von den Kindern bearbeiteten Standortbestimmung zur Division bekamen sie die Möglichkeit, eine eigene Rechengeschichte zu entwickeln. Hierbei wurde ihnen zunächst eine exemplarische Rechengeschichte präsentiert, anschließend konnten die Kinder ihre eigene Geschichte zur Aufgabe 36:4 verschriftlichen.

1. Erstellen Sie zunächst eine eigene Rechengeschichte zur Aufgabe 36:4.

2. Versuchen Sie, die Rechengeschichte und die jeweiligen Fragen, Rechnungen und Antworten der Kinder nachzuvollziehen. Wo entdecken Sie Schwierigkeiten beim Operationsverständnis?

Anmerkung: Die Rechengeschichten wurden der Übersicht halber abgetippt und grammatikalisch sowie orthographisch korrigiert; die erstellten Fragen, Rechnungen und Antworten sind im Original abgebildet.
 

Erfundene Rechengeschichte der Kinder
Paul, Anna, Frid und Paul teilen sich eine Torte mit 36 Stücken.
36 Fussel sitzen unter einem Sofa. Kommen 4 Staubsauger und saugen die Fussel auf.
36 Schafe sollen in vier Gehege aufgeteilt werden.
36 Kinder bilden sechs Gruppen.
Alfred hat 36 Äpfel. Er will sie gerecht auf seine Freunde aufteilen.
Hier finden Sie Interpretationsvorschläge zu den einzelnen Rechengeschichten der Kinder hinsichtlich der Fragestellungen.

 

5. Das geht doch nicht - Division mit Rest

Betrachten Sie die Schülerlösungen und Kommentare zur Division 37 : 5 und diskutieren Sie, inwiefern es sinnvoll ist, Division mit Rest im Unterricht zu thematisieren.
 

Sina

Klara

David

Lukas

Dillen

Delia
Sina
Klara

Die Division mit Rest bietet den Kindern die Möglichkeit, die scheinbar bestehende Konvention, dass bei einer Division immer eine natürliche Zahl als Quotient notiert werden kann, zu überwinden. Im Hinblick auf die Vorbereitung und das Verständnis von Dezimalzahlen und Brüchen ist das Thematisieren der Division mit Rest relevant und hilft bereits früh, Fehlvorstellungen vorzubeugen. Wichtig scheint es weiterhin zu sein, eine einheitliche Darstellungsform zu verwenden, da so richtig durchgeführte Rechnungen, wie die von Lukas, hinsichtlich mathematischer Konventionen nicht korrekt notiert sind. Dies gilt ebenfalls für Sina und Klara, die in ihrer Rechnung und Argumentation von der Grundidee ausgehen, dass 35 ohne Rest geteilt werden kann und dies korrekt notieren. Für die Notation des Restes finden sie kreative Lösungsvorschläge, die auf ein Verständnis der Division mit Rest hinweisen.

Eine inhaltliche Auseinandersetzung und Vertiefung zur Thematik der Division mit Rest finden Sie hier.

 

6. Verwandte Themen

Aufteilen und Verteilen
bildliche Darstellung
Division mit Rest

Auf der Website des Projekts PIK AS finden Sie in Haus 9 'Lernstände wahrnehmen' weitere Materialien zum Thema 'Standortbestimmungen'.

7. Verwendetes Material

Die verwendete Standortbestimmung wurde in Anlehnung an Akinwunmi, Deutscher & Mosandl (2014) erstellt. Auszüge der Originalmaterialien sind unter folgendem Link unter den Materialien zum Förderbaustein N4 – Multiplikation und Division verstehen zu finden: http://mathe-sicher-koennen.dzlm.de/002.

 

8. Zitierte Literatur

Akinwunmi, K., Deutscher, T. & Mosandl, C. (2014). Standortbestimmungen (Diagnosebausteine). In C. Selter, S. Prediger, M. Nührenbörger & S. Hußmann (Hrsg.): Mathe sicher können - Handreichungen für ein Diagnose- und Förderkonzept zur Sicherung mathematischer Basiskompetenzen - Natürliche Zahlen (S. 163-184). Berlin: Cornelsen.

Akinwunmi, K., Deutscher, T. & Selter, C. (2014). Multiplikation und Division verstehen. In C. Selter, S. Prediger, M. Nührenbörger & S. Hußmann (Hrsg.): Mathe sicher können - Handreichungen für ein Diagnose- und Förderkonzept zur Sicherung mathematischer Basiskompetenzen - Natürliche Zahlen (S. 78-98 ). Berlin: Cornelsen.

Hefendehl-Hebeker, L. (1982): Zur Einteilung des Teilens in Aufteilen und Verteilen. In: Mathematische Unterrichtspraxis, 3 (1), S. 37-39.

Padberg, F. & Benz, C. (2011). Didaktik der Arithmetik für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung. 4. erweiterte, stark überarbeitete Auflage. Heidelberg: Spektrum.

Radatz, H. & Schipper, W. u. a. (2006): Handbuch für den Mathematikunterricht. 2. Schuljahr. Braunschweig: Schroedel, S. 81-112.

 

9. Weiterführende Literatur

Bönig, D. (1995). Multiplikation und Division. Empirische Untersuchung zum Operationsverständnis bei Grundschülern. Münster: Waxmann.

 

Diese Seite wurde erstellt von Beatrice Dürdodt für das Projekt Kira.